中文摘要：

本项目的主要研究内容包括两个方面。一、研究确定性可积系统的显式精确求解的数学方法以及相关的理论问题。具体内容有1)发展高维及联系高阶谱问题的可积系统的可积分解理论，实际应用它们到有重要意义的可积系统的求解上；2)探索各种可积系统间的内在联系，以便于快捷求解；3)寻找从有限维可积哈密顿系统直接构造可积辛映射的方法并应用于求解孤立子方程；4)构造新的(2+1)维或更高维的可积系统并求它们的显式精确解，特别是代数几何解。二、发展求随机可积系统精确解的方法。研究如何有效应用已成熟的求孤立子方程精确解的方法到非线性随机波精确求解上，发展基于对称约化的求随机可积系统精确解的方法。该研究将极大地丰富可积系统的数学理论，促使一般非线性偏微分方程和随机微分方程以及相关学科的发展，提高人们对非线性和随机现象的认识。

结论摘要：

本项目研究可积系统的精确求解，发展确定性可积系统的可积分解方法和随机孤立子方程的精确求解方法。主要创新成果有提出了带真实条件的可积系统的谱问题非线性化方法，实质性地推动了可积分解理论和应用的研究，进一步沟通了有限维可积系统和无限维可积系统之间的关系；基于Lie代数同构，发展了非标准对称约束方法，获得了mKdV方程和Kaup-Newell方程的无穷多个可积分解；提出了约束孤立子流的可积变形方法，一大批新的有限维可积系统被获得，有力地推动了这一具有120多年历史的问题的研究；研究了离散Toda链的可积扰动，获得了一族新的离散可积系统，建立了它们的可积结构；基于相对论Toda格新的Lax对，新的(2+1)维离散可积系统被构造，其显式精确解被得到；发展了我们提出的求随机可积系统精确解的方法，结合Backlund变换、噪声分析、Hermite变换和F-展开方法，成功获得了Wick 型（1+1）维随机KdV方程、（1+1）维随机Hirota-Satsuma-KdV方程、（1+1）维随机NLS、方程（1+2）维KP方程、（1+2）维mKP方程等一大类具有典型性的随机孤立子方程的精确解。