中文摘要：

本项目研究的主要内容是用拓扑度理论、临界点理论和Morse理论，结合我们找到的新的拉伸条件，研究泛函的变号临界点和非线性椭圆型方程变号解的存在性。我们利用拓扑度理论、临界点理论以及Morse理论，深入研究半线性椭圆型方程的变号解，通过临界群、拓扑度和不动点指数之间的内在联系，将它们相互转化，获得一些较好的变号解的存在性定理。然后抽象概括，建立一般泛函的一些新的关于变号解的临界点定理。进一步研究一些拟线性椭圆型方程，获得较好的变号解的存在性结果。 临界点理论的发展与对具体非线性变分问题的研究相辅相成。近年来，非线性微分方程的研究受到了广泛关注，这些方程是物理学、生态学、经济学等诸多领域中所涉及到的问题的数学模型, 有着丰富的应用背景。因此，对这些方程变号解的研究，无疑对临界点理论及非线性泛函分析的发展有着重要的意义。

结论摘要：

临界点理论的发展与对具体非线性变分问题的研究相辅相成。非线性微分方程是物理学、生态学、经济学等诸多领域中所涉及到的问题的数学模型, 有着丰富的应用背景。因此，对这些方程变号解的研究，无疑对临界点理论及非线性泛函分析的发展有着重要的意义。 本项目用拓扑度理论、临界点理论和Morse理论，结合我们找到的新的拉伸条件，研究了非线性椭圆方程变号解的存在性和多解性，以及非线性Sturm-Liouviile边值问题变号解的存在性与多解性。通过临界群、拓扑度和不动点指数之间的内在联系，将它们相互转化，在共振条件下，获得了一些较好的变号解的存在性定理。另外，本项目还利用临界点理论研究了一些具有非局部项的非线性微分方程正解的存在性， 以及一些方程组的解的多重性，在去掉一些有界性条件下，都得到了较好的存在性结果。