中文摘要：

偶应力/应变梯度理论是刻画材料在细观尺度的应变局部化现象的新理论。其基本方程在传统连续体力学方程基础上增加含材料长度参数的高阶方程，属非齐次阶微分方程，不同于连续体力学的齐次阶微分方程。偶应力/应变梯度理论有限元中应变同时有位移的一阶和二阶导数，这两个导数部分都要求节点参数包括位移的函数值和导数值，是一个新的提法。偶应力/应变梯度理论的分片检验函数应是满足平衡方程的二次位移函数，这还要求单元满足二次完备性和C0连续。这些要求给单元构造带来了很大困难，目前用于求解偶应力/应变梯度理论的绝大部分单元都不能通过新提出的分片检验。我们利用三角形面积坐标和B网方法，已对2D和3D问题构造出一套有高阶完备性的单元族，并且完备次数不受单元畸变的影响。这种构造单元的新方法可以解决偶应力/应变梯度理论有限元的问题。本项目的目标是用面积坐标和B网方法构造适用于偶应力/应变梯度理论的可靠的，高性能的单元。

结论摘要：

偶应力/应变梯度理论是刻画材料在细观尺度的应变局部化现象的新理论。其基本方程是在连续体力学方程基础上增加含有材料特征长度参数（微观尺度）的高阶方程，现有的有限元方法用于求解偶应力/应变梯度理论方程还存在一些难点问题。由于偶应力/应变梯度理论的基本方程属于非齐次阶微分方程，应变同时出现了位移的一阶和二阶导数，要求节点参数包括位移的函数值和导数值。而且，为了满足单元收敛性，新近提出的C0-1增强型分片检验要求单元需要具有二次完备性的C0 和C1弱连续，因此需要构造具有高阶完备性的平面单元和三维单元。我们利用研究多元样条的三角形面积坐标和B网方法，在二维和三维问题中，构造了一套有高阶完备性的单元族。这些单元的优点是，由于避免了区域变换，三角形面积坐标与直角坐标始终保持线性关系，因此，用面积坐标表示的插值基函数对直角坐标的完备次数不会随单元形状的畸变而改变，单元的精度对网格畸变不敏感。我们将此样条方法与偶应力/应变梯度理论有限元的问题相结合，构造了适合偶应力/应变梯度理论节点参数要求的四边形单元，这些单元可以满足C0和C1弱连续条件，二次完备性，通过增强型分片检验确保收敛，完全能够满足偶应力/应变梯度理论对单元的要求。数值实验表明，这些单元具有高精度，无伪零能，可以很好的显示微观结构的尺度效应。我们同时也将样条方法用于构造高精度的非凸四边形单元、三维空间单元和薄板单元，获得了一系列的成果。到2014年底统计，共发表论文12篇，其中SCI检索7篇，EI检索11篇。项目组成员先后6次参加国内外学术会议并作报告。