中文摘要：

本项目拟利用变分方法特别是临界点理论讨论无界区域（含全空间和半空间）上拟线性椭圆方程变号解的存在性，也致力于解的性态的研究. 主要涉及两类问题一类是无界区域上带位势井线性增长p-Laplace方程变号解的存在性. 解决该问题需要克服的困难之一是无界区域上p-Laplace算子特征值问题,其次是证明Banach空间泛函满足Cerami条件的变号临界点定理. 同时还将考虑跳跃非线性条件下带位势井p-Laplace方程变号解的存在性，证明无界区域上带位势井p-Laplace算子非平凡Fu?ik谱曲线存在性及其性质；另一类是修正的非线性Schr?dinger方程，这类方程只有形式上的变分结构，需要寻求新的解决办法. 除证明解的存在性外，我们还致力于解的性状研究，譬如节点域的形状、个数以及节点集的测度等. 本项目的研究对变号临界点理论必将有所发展，同时得到特征值问题的一些新结果.

结论摘要：

本项目基本是按选题时所确定的研究内容进行研究的. 在全空间、半空间上p-Laplace算子特征值方面取得了突破，并对方程变号解存在性的流不变方法做了实质性的改进，这为得到渐近线性问题的变号解提供了有利的工具. 利用扰动方法及Nehari流形的方法研究了全空间及有界区域上拟线性Schr？dinger方程正解及变号解的存在性，包括次临界和临界情况，这在解决拟线性问题的方法上有突破性的创新，并取得一系列有意义的成果. 按期完成了项目规定的任务. 共完成论文11篇，已有10篇正式发表，另外一篇已投国外期刊，正在审稿. 本项目的研究成果大多数发表在国际水平的杂志上.