中文摘要：

本项目以快速求解线性与非线性Schr?dinger型方程（初）边值问题为目标，探索基于粗、细两层网格有限元离散的数值解法，构造计算格式，开展理论分析与数值实验，并按照"非定常线性问题→定常非线性问题→非定常非线性问题"的顺序分阶段展开研究。两网格有限元解法的原理是先在粗网格上求原问题的有限元解，再在细网格上求一个被大大简化了的问题的解，使该解与细网格上原问题的有限元解有相同的收敛阶（在某种能量范数下）。就Schr?dinger型方程而言，本项目要研究的简化是指对耦合方程组解耦（因实际计算时要将解的实部与虚部分开，故Schr?dinger型方程是耦合方程组），将非线性问题线性化。由于粗网格常可选得很粗，所以两网格有限元解法能极大地减少计算工作量，优势特别明显，具有十分重要的理论与实际应用价值。但本项目涉及复函数、耦合方程组以及非线性，因此研究难度大，颇具挑战性。

结论摘要：

本项目以快速求解线性与非线性Schr？dinger型方程（初）边值问题为目标，探索基于粗、细两层网格有限元离散的数值解法，构造计算格式（要求计算格式具备“在细网格上能够将耦合方程组解耦，如果是非线性问题，则在细网格上还能够将非线性问题线性化”这些关键功能），开展理论分析与数值实验，并按照“非定常线性问题→定常非线性问题→非定常非线性问题”的顺序分阶段展开研究。本项目涉及复函数、耦合方程组以及非线性，因此研究难度大，颇具挑战性。 针对非定常线性Schr？dinger型方程初边值问题以及定常非线性Schr？dinger型方程边值问题，我们都构建出了理想的两网格有限元计算格式，给出了两网格有限元解的收敛性分析，获得了（最优）误差估计，并通过数值实验得到了验证。针对非定常非线性Schr？dinger型方程初边值问题，我们也构建出了理想的两网格有限元计算格式，经过数值实验验证，计算格式是有效的，精度可以达到最优阶。此外，我们还大大拓展了研究内容一是为进一步提高包括两网格在内的双尺度有限元解的效率，我们将两网格有限元方法与后处理方法相结合，提出了一类新的后处理双尺度有限元组合离散方法用于求解椭圆边值问题和特征值问题；二是对包括Thomas-Fermi-von Weizsaecker型方程和Kohn-Sham方程在内的一类非线性特征值问题的有限维(从而有限元)逼近进行了数值分析，得到了先验和后验估计以及相应的自适应计算的收敛性与复杂度结果；三是将有关特征值问题多尺度离散方法应用到第一原理实空间并行自适应计算程序的框架中并优化程序代码与结构。 项目执行期间，在SIAM Journal on Numerical Analysis、Journal of Computational Physics、Journal of Computational and Applied Mathematics、 Computer Methods in Applied Mechanics Engineering、 Advances in Applied Mathematics and Mechanics等杂志上发表论文12篇，其中SCI期刊10篇。指导8名博士生、3名硕士生，其中4名获得博士学位，1名获得硕士学位。