中文摘要：

Hilbert第16问题的第二部分关于平面多项式系统的极限环个数的研究具有极大的挑战性，即使对二次系统也没有得到完全解决。其方法也在不断地深入，不仅有常见的规范型及分支理论方法，还涉及到几何理论及代数几何。在大部分研究成果中，一般考虑Hopf分支时都假设奇点是初等的。而本项目研究具有幂零奇点的系统，并用不同的方法估计小振幅极限环个数，结合数学软件Maple编程计算，主要研究以下几个方面的课题（1）中心焦点问题。利用焦点量新的定义及可逆积分因子计算幂零奇点处的Lyapunov常数，给出幂零奇点是否为中心的判别条件。（2）Abel积分与极限环。利用分支理论及分析技巧研究退化较高的平面系统在幂零奇点处的Abel积分的性质及其展开式，并编程计算前几项系数，建立与系数相关的分支定理。（3）高阶Melnikov函数。 利用多项式1-形式及上同调分解理论研究高阶Melnikov的特性及零点个数的上界。