中文摘要：

偏微分方程的扩散行为和数值方法研究极大的促进了计算机视觉、图像处理等应用学科的发展。自从Perona 和Malik 首次将各向异性扩散引入到图像处理，已产生众多基于偏微分方程的图像处理模型，并在取得一定成效。这些模型大多是通过不同类型的局部扩散行为来达到图像处理的目的，泛函变分和水平集演化是其中常用的技术手段。具有非局部演化特征的偏微分方程模型不易受局部噪声以及局部误差的影响，其扩散行为具有较好的自适应特点，能够有效应用于复杂的图像处理问题。本项目拟通过引入几个非局部几何物理量，建立新的非局部偏微分方程模型，讨论解的存在唯一性，分析其各向异性扩散行为；结合Hamilton-Jacobi 方程理论、能量守恒律、水平集方法、误差估计、稳定性分析进行深入探讨和研究，并通过计算机仿真实验进行结果验证。

结论摘要：

偏微分方程的扩散行为和数值方法研究极大的促进了计算机视觉、图像处理等应用学科的发展。本项目对此及相关领域的应用展开了研究，主要内容和成果如下本项目研究了图像处理问题中一些非局部信息以及非局部几何量，据此推导了一些相关的非局部算子，并通过不同的权重函数研究了这些几何物理量与图像特征之间的内在联系及其对图像处理模型的影响。在Chambolle和Lions提出的能量泛函基础上研究了相关的各向异性扩散行为并引入到图像处理模型中，并研究相应的数值格式和算法，应用于有限角度CT成像，改善了图像重建结果。本项目还研究了一个用于曲面演化的非线性偏微分方程模型及其数值格式和数值算法，并应用于无线传感器网络中的信息势场构造和信息导航。本项目还研究了TV能量及其非局部化形式在优化目标函数极值点附近的特征规律，并针对求取多变量函数所有局部极小点问题和约束非线性规划问题提出了新的算法。