中文摘要：

随机代数 Riccati 方程在科学计算和现代控制理论的许多领域中扮演着关键的角色，比如线性二次随机零和博弈问题，运载火箭上升问题，柴油引擎控制问题等等。因此，对随机代数 Riccati 方程的性质和数值解法进行研究具有重要的理论和实际意义。在本项目中，我们主要研究求解 Riccati 方程的广义矩阵符号函数方法，以及如何构造不需要迭代参数的 ALI 迭代法等内容。同时本项目也将对求解广义代数 Riccati 方程的广义保结构加倍算法进行研究。

结论摘要：

随机代数 Riccati 方程在科学计算和现代控制理论的许多领域中扮演着关键的角色,比如线性二次随机零和博弈问题,运载火箭上升问题,柴油引擎控制问题等等。因此,对随机代数 Riccati 方程的性质和数值解法进行研究具有重要的理论和实际意义。在迭代求解 Riccati 方程时，涉及到 Sylvester 方程的计算。我们给出了广义低秩交错方向隐式方法和低秩循环 Smith 方法来求解该类方程，同时还给出了相应的扰动分析和扰动界。除此之外，我们还给出了一种新的收缩重开始 GMRES 方法。这些研究成果都发表在了 SCI 期刊上。总的来说,我们比较良好地完成了该项目。