中文摘要：

地下水的污染是城市发展面临一个重要的挑战，在数学上，Darcy流-对流扩散模型、Darcy-Stokes模型的耦合问题已经被提出来模拟地下水的输运和污染物的扩散。与本项目基于实验背景及地下水管理出发，主要研究地下水耦合模型的有限元方法模拟及反演。包括带自由面Darcy流-Stokes流耦合、非稳态带自由面Darcy流-Stokes流耦合及其污染物的传播问题的有限元数值方法；稳定高效Darcy-Stokes流等耦合模型有限元数值模拟；地下水耦合模型的反演算法。我们的方法和成果可望为地下水及污染的研究、管理和预测提供理论基础，为解决这类问题提供比较可信的模拟工具和理论依据。

结论摘要：

地下水的污染是城市发展面临一个重要的挑战，在数学上，Darcy 流-对流扩散模型、Darcy-Stokes模型的耦合问题已经被提出来模拟地下水的输运和污染物的扩散。与本项目主要研究地下水耦合模型的有限元方法模拟及反演。主要有下面五个方面的工作。1）带Darcy 流-Stokes 流耦合的有限元方法方面，给出了对H(div)协调有限元的后验误差估计子，并证明了可靠性和有效性；同时构造了一族弱-Galerkin方法有限元离散，并得到了误差估计；2）非稳态Darcy 流-Stokes 流耦合的有限元数值方法，提出和研究了两种时间上两阶的隐式-显式方法，这个算法可以有效求解，同时建立了无条件和长时间的时间稳定性估计；3）在反演算法方面，对一类带非线性边界条件的热输运问题，构造了单调的反演算法；对CCPF模型，用伴随方法来反演系数；同时对被动成像，推广了Garnier和Papnicalaou的一阶交错相关工作到二阶交错相关，得到了更快的收敛率，并提出了两个成像算法；4）对一类非线性偏微分方程，考虑用凹凸分裂算法来求解，给出了无条件稳定性和收敛性分析，同时考虑了有效的算法和高阶格式，并把这个想法推广到一类带非线性指数右端的波动问题；5）另外在Darcy-Stokes问题区域分解算法的基础上，考虑了Laplace方程一种新型的Robin型区域分解算法，对两区域问题，得到了最优收敛性分析。最后对内传输问题，给出了收敛性分析和自适应结果。我们的方法和成果可望为地下水及污染的研究、管理和预测提供理论基础，为解决这类问题提供比较可信的模拟工具和理论依据。