中文摘要：

针对强非线性内波对海洋工程造成的巨大危害，本项目将建立高阶内波演化方程描述更丰富的内波行为，并给出其对应的线性逆散射方程，利用符号运算的推导能力和同伦分析等半解析方法，求解该线性逆散射方程，从而解析的了解内孤立波的产生机理、传播和耗散规律，解析的揭示内孤立波的反射、透射和散射现象的本质，分析内孤立波流场及其对结构物的作用；研究多个内孤立波的相互作用和长时间发展，并分析多孤立波相互作用的流场结构变化。将解析计算和数值模拟相结合研究变化水底条件对孤立内波发生机理和传播规律的影响，分析各个因素对内孤立波传播方式的改变程度。解析解包含了内波活动的许多物理特征，借助它们有助于了解内波活动的规律。对复杂非线性内孤立波和周期波等水波理论的传播、反射、透射、散射及其相互作用等基础研究工作具有重要的理论意义，对研究内孤立波和海洋结构物及其部件的相互作用也有重要的实际意义。

结论摘要：

通过非线性内波的解析和符号计算项目的研究，综合采用理论分析和符号计算相结合的优势，研究了内波的非线性模型的建立和解析求解方法。通过解析表达式和图形分析，可以容易的发现代数几何解的非线性作用特征和线性波的相互作用和叠加具有完全不同的作用的方式。非线性行为和相互作用具有更为复杂的现象，在不同参数下，非线性波具有完全不同的行为和特征。具体分析了描述临界状态的Camassa-Holm方程，通过结合双线性方法和坐标变换，给出了Camassa-Holm方程的显式解析解。分析了拟周期解在参数变化下退化为孤立波解的过程,分析非线性相互作用的过程和特征。 总结了非线性发展方程的解析求解方法， 给出某些非线性波方程的非线性相互作用的解析特解，分析了其非线性相互作用，出版了英文专著一本。 发展了非线性方程求解方法的渐进解析方法，包括同伦分析方法和微分变换方法。在同伦分析方法方面做了进一步的探索，改进了初始猜测，提出了指数同伦，求解了变系数Burgers方程。给出了同伦分析解的收敛性证明，通过考虑一个抽象的非线性微分方程的初值问题，将其转化为相应的一般抽象积分方程，按照标准的同伦分析方法进行求解，得到了含有收敛参数的微分积分方程，借助于柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理的启发，构造合适的优函数， 给出优函数所满足的方程， 并分析其解的有效区域，并由优函数性质知道同伦分析方法的收敛范围。证明了同伦分析收敛性，确定最优参数公式。 使用微分变换法求解了不连续的冲击波问题和微分差分方程问题。将微分变换法成功推广到非线性微分差分方程的求解方面，微分差分方程可以看作是对连续方程的离散化，也可以看作是晶格系统。对微分差分方程的解析求解可以有效地检验方程离散格式的优劣。对数值计算方法的选择和离散格式的选择具有指导性意义。 在刚盖假定下，在分层流体界面处会由扰动源的作用而产生内部波动，通过复变函数方法将物理问题进行了数学描述，并采用牛顿迭代法数值求解了二维内部波动的波形和运动规律。针对密度连续变化三维流体的内部波动问题不再满足势流理论，提出了使用流体总压力代替势流理论中的势函数的方法，并结合Laplace变换对密度连续变化问题进行线性化解析求解，给出了密度连续变化的晃荡问题线性解析，发现其具有更丰富的自然频率，但是其更高频的自然频率的影响较小。