中文摘要：

脉冲微分方程在很多领域有重要的作用，周期解理论是脉冲微分方程理论中重要的课题。由于周期现象非常特殊，对脉冲微分方程考虑其较周期解更加一般的解即，逐段连续概周期解，更切合实际。由于逐段连续概周期函数理论尚不完善，故本项目首先研究逐段连续概周期函数的性质。 本项目首次通过构造逐段连续概周期函数的Bochner-Fejer多项式研究逐段连续概周期函数的性质，主要是寻找逐段连续概周期函数积分之后仍是逐段连续概周期函数的条件；参考概周期函数、Stepanov概周期函数的近似定理对逐段连续概周期函数建立类似的定理。在此基础上，结合脉冲微分方程的周期解理论，考虑逐段连续概周期函数在脉冲微分方程上的应用。项目成功的实施不仅能够完善逐段连续概周期函数理论而且能够推动其在脉冲微分方程上的应用。

结论摘要：

与概周期函数理论相比较，逐段连续概周期函数理论还有很多需要完善的地方，本项目首先结合概周期函数理论研究逐段连续概周期函数的性质。在此基础上，将Mawhin's重合度理论方法应用到证明脉冲微分方程的逐段连续概周期解的存在性上。在此之前，Mawhin's重合度理论方法被广泛的用在证明脉冲微分方程周期解的存在性或不带脉冲效应的方程的概周期解的存在性上。具体地 本项目首先对逐段连续概周期函数构造其Bochner-Fejer多项式，结合Fourier变化的反转公式以及逐段连续概周期函数的唯一性定理，对逐段连续概周期函数建立了Favard定理（即，若逐段连续概周期函数的Fourier系数绝对收敛并且其Fourier指数不密集于零，则逐段连续概周期函数积分之后仍是逐段连续概周期函数），这样就从函数本身出发找到了逐段连续概周期函数积分后仍是逐段连续概周期函数的条件。 然后，利用逐段连续概周期函数的Favard定理，结合脉冲微分方程理论，将Mawhin's重合度理论方法应用到了证明脉冲微分方程的逐段连续概周期解的存在性上，考虑了具遗传效应的单种群脉冲模型，多种群的脉冲对数人口模型的逐段连续概周期解的存在性。除此之外，本项目还对脉冲多时间延迟的Lasota-Wazewska模型的动力学行为进行了详细的研究。 项目成功的实施不仅完善了逐段连续概周期函数理论而且推动了其在脉冲微分方程上的应用。