中文摘要：

C*-代数的边界表示理论是上世纪60年代Arveson在非交换分析中的一项奠基性工作，它本质上是交换C*-代数的Choquet边界在非交换情形下的实现，是研究C*-代数的结构以及C*-代数与其子代数关系的重要工具。在过去的几十年中，它与其他学科相互交融，产生了一些新的数学分支。本项目致力于边界表示理论与解析函数论、Hilbert模理论、代数几何等学科的交融，主要研究高维解析函数空间及其商模上具有某种特征的解析乘法算子生成的C*-代数的边界表示问题。我们将利用代数几何、复几何、多复变等学科中的工具，揭示这类C*-代数的边界表示与商模谱的几何特征、商模本质正规性之间的关系，并构造边界表示的具体形式。在这类C*-代数具有不可数谱时，研究子算子系统的超刚性与其边界表示之间的内在联系，证明此情形下Arveson的一个猜测。

结论摘要：

C*-代数的边界表示以及相关的算子理论是近年来国际算子理论与算子代数领域的热门课题。我们在此方面的研究着重算子代数与算子理论的交融，并综合运用解析函数论，Hilbert模理论，复分析，代数几何等学科中的工具，形成了我们自己的特色。 在项目研究过程中，我们一方面按照计划书中的内容执行，同时也发现了与C*-代数的边界表示理论相关的一些新的有意义的问题，并得到了深刻而有趣的结果。我们考虑了多元算子组的谱性质，探讨了它与边界表示理论之间的关系。研究了算子系统的等价与其生成元的投射谱的拓扑性质之间的关系，初步讨论了算子系统的等价是否存在反映在投射谱上的拓扑障碍。研究了一般Banach代数中算子组投射预解集的几何性质。在一些情形下，通过投射谱上向量丛的研究，得到了投射谱的上同调群中的非平凡元素。我们还考虑了一些高维解析函数空间子模和商模的结构，并考虑了更一般的抽象交换等距算子对的分类问题，结果表明，抽象的交换等距对一方面继承了双圆盘上Hardy空间上由坐标乘法算子构成的交换等距对的一些性质，但更有趣的是，抽象的交换等距对也体现出不同的特点。 综上所述，我们在该项目的研究中得到了较好的成果，并在此项目的基础上开拓了新的研究方向。