中文摘要：

本课题属于非线性期望、集值随机过程理论及应用的研究范畴。这种带有不精确性的随机模型起源于经济、金融与不完整信息下的复杂系统的推断与决策等问题的研究，有理论研究价值与实际应用意义。本课题主要研究:1)进一步研究容度框架下Fubini定理,研究容度下的条件期望及性质，证明其收敛定理；进一步研究容度理论与集值随机理论之间的联系，证明容度框架下不独立的随机变量序列的大数定律与大偏差原理。2）进一步研究集值马氏过程，证明集值马氏过程的表示定理；试图给出集值Ito积分的不等式的正确证明，得到一般集值随机微分方程强解的存在唯一性定理，研究解的马氏性与解的比较问题；进一步用集值随机包含理论研究带有不精确性利率与波动的期权定价理论。3）首先建立容度框架下的连续型统计模型，并将其应用到金融、生物数据分析。第二是研究带有不精确性的时间序列分析问题，并将其应用到带有不确定性的风险资产的收益与风险的估计与预报中。

结论摘要：

带有不精确性的随机理论起源于金融与不完整信息下的复杂系统的推断与决策等问题的研究，同时该理论是经典随机理论的拓展，有理论研究价值与实际应用意义。本课题主要在容度或取值为集合的框架下，研究随机变量序列的极限定理、积分理论、区间值统计模型及其在带有不精确性的收益与波动下的期权定价、资产的风险估计等问题。我们得到如下主要研究结果: （1）引入集值随机变量关于容度的集值Choquet积分,给出了集值随机变量的Choquet可积的表示定理,证明了积分的次可加性和积分不等式,在比以往研究工作较弱的条件下证明了Fatou引理, Lebesgue控制收敛定理和单调收敛定理。研究了容度下的条件期望及其性质。（2）在Banach空间中，证明了有界闭凸集值随机集和上半连续函数分别在Hausdorff距离和一致Hausdorff距离意义下的大偏差和中偏差原理；在容度下证明了不独立可交换的随机变量序列的大数定律。（3）用集值随机包含建立了带有不精确性收益率与波动率的股票价格模型，利用倒向随机微分方程为工具，给出了非线性条件期望的表示定理，讨论了期权价格的界的计算，并给出了欧式期权定价的上、下界的计算公式。（4）利用支撑函数引入了集值随机变量的方差与协方差的概念,建立了区间值线性模型，并给出其最小误差估计和该估计的性质，证明了最小误差估计是最优双线性无偏估计，通过模拟与其它模型的比较说明该模型的有效性和特色，并应用于实际温度变化数据分析中。利用支撑函数，讨论了区间值收益与风险的投资组合的选择。还在容度框架下讨论了风险厌恶的度量问题。（5）在飘移项为集值随机过程，扩散项为单点值随机过程的条件下，利用集值Lebesgue积分不等式，证明了集值泛函随机微分方程强解的存在唯一性定理。（6）由于带不精确性的随机理论是以单值的概率测度下的随机理论为基础，我们对相关的单值随机理论做了研究，主要得到1）在比以往研究较弱的条件下，建立了倒向随机微分方程的生成元的表示定理和逆比较定理，还对由一类Levy过程驱动的倒向随机微分方程给出了上述两个定理。2）在几个容易验证且比较广泛的条件下，研究了一般马氏过程的拟平稳性和拟遍历性。3）在局部Lipschitz条件和多项式增长条件下，证明了随机泛函微分方程几乎处处渐近稳定，指数渐近稳定和有界性.