中文摘要：

符号计算系统为科学研究提供了很强的数学工具。符号计算可以准确地得到问题的完备解。但是在解决实际问题时，往往因为时间和存储空间的限制，很难真正发挥它的强大符号处理的功能。另一方面，现实世界中的很多问题是近似模型，也即数据有不同程度的误差。数值计算可以快速处理很多近似问题，但是一般不能得到全部解，而且有时不能确保计算结果的精确度。符号计算能提供多精度的计算，但是简单地应用符号算法来处理带有不确定系数的实际问题，往往需要呈指数增长的多精度计算来确保结果的有效性。符号和数值混和算法的研究是近十年来方兴未艾的重要研究方向。我们注意到符号计算处理的很多问题都可以转化为结构矩阵或稀疏矩阵的形式。通过更深入地研究结构或稀疏矩阵的数值计算与多项式计算之间的密切联系，我们希望能设计出新的混合算法，使之兼备符号计算的完备化和数值计算的高效率。

结论摘要：

符号计算为很多科学和应用问题提供了完整与准确的解答。 但是在解决实际问题时，往往因为时间和存储空间的限制，很难真正发挥它的强大的符号处理功能。 而且现实世界中的很多问题只是近似模型，单纯用多精度的符号计算工具，往往需要呈指数增长的多精度计算来确保计算结果的有效性。 因此，我与合作者一起致力于研究了符号计算和数值计算相结合的混合计算方法， 融和符号计算的准确性和数值计算的高效性，推动了混合计算这个崭新领域在国际和国内的大力发展。 我们主要研究的领域有1）多元多项式的近似因式分解 2）多项式的近似最大公因子的计算 3）近似多项式求根问题，如超定方程求解多项式方程求解。 通过深入地研究结构和稀疏矩阵的数值计算与多项式计算之间的密切关系，提出了基于结构最小二乘法，快速正交分解，奇异值分解等数值算法的混合算法，可以更快更精确地处理近似多项式问题 1）和2） 对于问题3） 通过符号延拓和数值消元相结合，构造了商空间的一组正交多项式基，用特征值方法可以数值稳定地求解方程的所有孤立解。