中文摘要：

目前，人们非常缺乏对Deligne-Mumford模空间的几何和拓扑性质的了解，比如人们甚至不知道他们的Betti 数，又如关于其上的计数几何问题的研究，人们甚至连对仅含有最简单的de Rham 上同调的计数问题可能的结果都不知道。我们希望解决Deligne-Mumford模空间（至少是某些Deligne-Mumford模空间）的通常的de Rham 上同调群的Betti 数以及陈-阮上同调群的Betti 数，给出上同调群的生成元。在此基础上，研究这些生成元对计数问题的影响，并给出这些计数问题在辛几何和理论物理上的应用。我们也希望研究2维orbifold上的弦理论，给出其上的Gromov-Witten不变量的计算，从而给出第一个非平凡的计算轨道流形上的Gromov-Witten不变量的例子，也给研究一般的轨道流形的Gromov-Witten 不变量的提供借鉴。

结论摘要：

根据研究计划，本项目在轨道流形（Orbifold）和代数几何的研究上取得了一些成果。由项目组研究生对轨道流形的一些基本性质给出了刻划，比如轨道流形的积分以及复轨道流形在复射影空间中的嵌入。仿射Kahler流形在镜像对称理论中有重要的应用，项目组研究生杨宝莹硕士和其合作者研究了仿射Kahler流形上的一类变分问题，给出了一些有趣的分类结果。项目负责人和其合作者证明了在Abundance猜测下，对任意n维一般型光滑代数簇，假设全体不存在零点的全纯1-形式的空间的维数为k,则该代数簇的Kodaira维数为n-k。我们证明了对任意光滑的具有数值有效的反典范丛的射影簇，如果其Albanese映射是平坦的， 则Albanese映射一定是满的和半稳定的。项目负责人和李安民教授、赵国松教授申报的"相对Gromov-Witten不变量及其应用"获得2005年度教育部提名自然科学一等奖。