中文摘要：

本项目以Stanley-Reisner环和Rees环等交换分次环为主要研究对象，研究它们的性质和结构及其在组合中的应用。Stanley-Reisner环是对应于单纯复形的交换分次环，单纯复形这类几何体的有些重要组合性质至今只能运用交换代数方法对其Stanley-Reisner环进行研究来得到，这使得Stanley-Reisner环的研究具有重要意义；而Rees环则在代数几何中的奇异点消除问题中有深刻的背景,与Stanley- Reisner环有许多类似之处。本项目主要研究单纯复形的单项式理想在典型群下的不变性和移位变换的性质；研究Stanley-Reisner环的Betti数等不变量；同时研究Stanley-Reisner环,Rees环等交换分次环何时具有Cohen-Macaulay,Gorenstein等性质。由于在组合数学和代数几何中的重要背景使得本项目的研究成果在理论和应用上都有意义。

结论摘要：

本项目主要研究了在组合数学和代数几何中有深刻背景的Stanley-Reisner环、Rees环和对称代数等交换分次环及局部上同调的性质。设△是一个单纯复形，在任意域上，△有一个对称代数移位复形,外代数移位复形和组合移位复形。当△是稳定的单纯复形的时，我们证明了这3个移位复形的Betti数（对应的是相关Stanley-Reisner环的Betti数）是相等的。d-序列是由著名交换代数学家C. Huneke引入用来研究对称分次环和Rees环的一个重要工具，d-序列的存在性及如何验证一个序列是d-序列是交换代数中的一个热点和难点。我们得到了一个单项式序列成为d－序列的充要条件，根据这个充要条件可以用很简单的方法来验证一个单项式序列是否成为d－序列。在局部上同调理论的研究方面，我们建立了局部同调和局部上同调的一个对偶定理，刻画了一般局部上同调的第一个非Artin的指标。我们还用有限域上的典型群构造了称之为一般辛图的一类强正则图，研究并得到了这类图的有关参数，着色数和自同构群；用矩阵方法构造了特征2的有限域上的有理函数域在几类典型群下的不变域的超越基；研究了Z_4线性码及其对偶码的性质。