中文摘要：

子流形几何理论是欧氏空间中曲面论的自然发展和推广，是整体微分几何的重要组成部分，在分析、拓扑和方程中都起到了重要的作用，其中子流形的变分问题是它的重要研究课题。自1965年J.T. Willmore提出了著名的Willmore猜想以来，S.T.Yau,R.Bryant,U.Pinkall等几何学家在Willmore曲面的研究方面得到了一系列重要结果，但高维Willmore子流形还未得到充分的研究。近年来，Barbosa,do Carmo等人研究了空间形式中超曲面的保体积变分问题，其高余维的情形对应r-极小子流形的变分问题。Wulff Shape 是Wulff上世纪初研究晶体时发现的数学模型，其几何变分特征问题还未得到充分研究。本项目对下面三类变分问题进行研究1、黎曼流形中Willmore子流形的变分问题；2、黎曼流形中的r-极小子流形的变分问题；3、Wulff Shape的变分特征问题。

结论摘要：

子流形几何理论是欧式空间中曲面轮的自然发展和推广,是整体微分几何的重要组成部分,在分析,拓扑和方程中都起到了重要作用. 子流形的变分问题是子流形几何的重要研究课题. 本项目在下面五个方面取得一系列重要研究成果　 （１）黎曼流形中特殊子流形的分类问题，包括复射影空间中具有平行第二基本形式的Lagrangian子流形的分类；复欧式空间和复双曲空间中迷向Lagrangian子流形的分类；不定复空间形式中极小迷向Lagrangian子流形的分类; 3维复空间形式中具有迷向3形式的Lagrangian 子流形的分类；欧式空间中具有常Laguerre特征值和零Laguerre形式的这类超曲面的分类． （２）黎曼流形中特殊子流形的构造，包括复二次形中极小Lagrangian 子流形的新例子的构造；球面中具有常数r-次平均曲率嵌入超曲面的例子构造． （３）黎曼流形中子流形的刚性和特征值研究，包括研究球面中常数数量曲率超曲面的弱稳定指标；常数量曲率超曲面对应Jacobi算子第二特征值的上界估计；对球面中紧致具有常熟平均曲率超曲面,　得到第二基本形式长度平方长度的第二Pinching现象；对空间形式中紧致子流形,　给出其诱导度量的Paneitz算子第二特征值的最优上界估计等． （４）具有平行cubic形式仿射超曲面的完全分类，包括给出局部严格凸且具有平行cubic形式的仿射超曲面的完全分类；给出了具有平行cubic形式的Lorentz仿射超曲面的完全分类等． （５）黎曼流形上泛函的变分问题研究，包括对具有共形Killing向量场的黎曼流形我们建立关于标准化体积系数和Gauss-Bonnet 曲率的两个Kazdan-Warner型恒等式；　计算对应标准化体积系数泛函的第二变分公式，研究其稳定性和几何应用。