中文摘要：

本项目将主要研究几何偏微分方程在数字图像处理中图像分割和图像去噪方面的应用，能够解决卫星遥感图像和医学核磁共振图像中的具体问题。主要研究思路是根据实际问题的需要，结合图像信息对微分几何中的曲线或曲面演化（即曲率运动）方程以及传统的去噪模型进行改造，利用图像信息及图像梯度信息构造度量，构造黎曼流形，在这样特殊的黎曼流形上进行曲线演化，将黎曼流形思想引入图像处理，得到几类新的模型。在理论上我们将在有界变差函数的范畴下，利用拟线性抛物方程的理论研究方程解的存在性、唯一性、稳定性以及解的渐近行为，对于其中的几类去噪方程也用时间离散的方法证明热流方程解的存在性，并对应具体问题得出一定条件下解有唯一性和稳定性；在应用上我们将实际地处理一些卫星遥感图像和医学图像中所需的轮廓提取、去噪糊等课题。

结论摘要：

本项目主要研究了几何偏微分方程在数字图像处理中图像分割和图像去噪方面的若干问题。我们利用特征函数的特性及彩色图像的色彩信息，提出了新模型，用于图像特定区域里特定目标的提取。我们还结合张量投票思想，改进模型用于图像模糊轮廓的提取。针对图像去噪问题我们提出了变指数泛函。该方法提高计算效率的同时对光滑区域我们的方法消除了块状效应。此外，我们还提出了一个新的明确的空间自适应椭圆内核滤波器，用于以提高平滑图像的连贯性和解决噪声图像的修复问题。在理论上我们对提出的变分模型的极小解的存在性做了讨论，并对部分模型相应的演化方程在有界变差函数的范畴下，利用拟线性抛物方程的理论研究方程解的存在性、唯一性、稳定性以及解的渐近行为。