中文摘要：

常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等诸学科中具有广泛的应用。本项目重点研究常微分方程初值问题新的计算方法及其应用，主要研究内容包括刚性常微分方程初值问题的连续块方法，具有指数衰减、周期或震荡解的常微分方程的函数拟合块方法，以及退化中立型微分方程的计算方法及其稳定性。本项目的研究成果将丰富和发展常微分方程的数值计算理论，并为滞时微分方程、中立型微分方程和Volterra积分微分方程等问题提供新的计算方法，具有十分重要的理论意义和应用价值。

结论摘要：

常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等诸学科中具有广泛的应用。本项目主要研究刚性常微分方程初值问题的连续块方法及其应用，具有指数衰减、周期或震荡解的常微分方程的函数拟合块方法，以及中立型时滞微分代数方程的计算方法及其稳定性。本项目的研究成果包括构造了求解常微分方程的连续隐式混合块方法和连续并行块方法并应用于具有时滞的微分方程的数值计算，通过建立两类拟谱配置法与Runge-Kutta方法的联系分析了这些方法的收敛性和绝对稳定性，提出求解具有指数衰减、周期或震荡解的常微分方程的函数拟合块方法并建立了收敛性理论，建立了中立型时滞微分代数系统的渐近稳定性理论并分析了线性多步法和Runge-Kutta方法求解该系统的绝对稳定性，同时也给出了一类非线性中立型微分代数系统为渐近稳定的充分条件并讨论了向后欧拉公式的绝对稳定性。本项目取得的研究成果不仅丰富和发展了常微分方程的数值计算理论，并为求解具有时滞的微分方程问题提供了新的计算方法，具有重要的理论意义和应用前景。