中文摘要：

图谱研究是图论研究中十分活跃的研究分支，其研究成果为图理论的研究增添了图的代数特征的新篇章，同时也为代数理论﹑矩阵论和分析理论的相关研究开创了新领域﹑提供了新方法﹑创造了新结果。图谱的研究呈现以下特点其一是分类原则，其二是极值方法，其三是通过图谱特征来刻划图特征的研究发展趋势，其四是不断扩大的研究范围，即从图的邻接谱，扩展成研究Laplacian-谱，Q-谱和其它图矩阵的谱.本项目主要研究图谱（包括有向图）的特征值的性质，研究图的组合参数与图谱参数内在联系，特别针对不同图类的Laplace谱和Q-谱刻划谱半径达到极值的极图，通过极图的谱半径给出一般图类谱半径更加精确的上下界，并确定或刻划具有相关参数的极图或图的性质。其次研究图谱相关领域的应用问题（如主特征值，图的零度和图特征值函数表达的分子图能量）。本项目预期在图谱研究的极值方法上有所突破，在谱半径和图谱参数的研究中取得先进的研究成果。

结论摘要：

图谱的研究从上个世纪40年代开始，经历了70年的发展历程。早期的一个著名结果是图的Laplaian特征值完全确定了图的生成数的数目。Halary进一步猜想，图本身是由它的谱唯一确定的。但事情并非这样。然而通过图的代数特征值性质来确定图的各种组合性质一直是图谱研究的主流问题。本项目主要研究图谱（邻接谱、Laplacian谱和Q-谱（singleLaplacian 谱））的性质和图的性质，特别是图的谱参数与图的组合结构的内在联系, 从而确定图的各种性质。本项目的研究通过代数方法和极值条件取得了一些有价值、有意义的研究成果，主要集中在三个方面一是完全刻画了一些谱唯一（A-谱、L-谱、Q-谱唯一）的图类，并对相关图类中非谱唯一的图，完全确定了它们的非同构但同谱的图，这些工作推进了谱确定问题的前沿研究进展，为进一步研究图的谱确定性问题打下了良好的基础。二是研究了图谱（A-谱、L-谱、Q-谱唯一）的一些性质，主要是对一些图类的谱半径的极小和极大值及其性质展开研究，同时刻画了具有这些性质的图类，从而由图的谱性质（代数特征）确定了图的性质（结构特征）。其三是对图的主特征值性质和具有不同特征值的图的谱性质展开了研究，得到了几个初步的结果，虽然有一定的价值，但进展不大。