中文摘要：

Gevrey类是介于解析类和C∞类之间的函数空间，与C∞ 类相比，它更能精确地刻画函数的光滑程度。本项目拟用Gevrey类微局部分析的方法， 包括拟微分算子以及Gevrey类仿微分运算，研究如下几类非线性偏微分方程解的Gevrey类（解析类）正则性。1.不可压缩的 Navier-Stokes方程初边值问题解的解析正则性，与已有的关于全空间以及环面区域情形时的解析正则性结果不同，本项目拟考虑一般区域情形下，解的内部解析正则性以及边界解析正则性，并且对于整体解，讨论其大时间性态。2.退化椭圆型的Monge-Ampère 方程解的Gevrey类正则性。这两类方程不仅具有深刻的几何背景（如Monge-Ampère 方程）和物理背景(如Navier-Stokes 方程)，而且作为对非线性偏微分方程的研究，在数学上也具丰富的理论意义。

结论摘要：

在本项目中，我们研究一类具有物理和几何背景的偏微分方程的亚椭圆性和正则性，并且取得了申请书上预期的结果。我们的成果可以概括为 (1)我们考虑二维的退化非线性Monge-Ampere方程，当解的Hessian矩阵有一个严格正的主元，并且满足有限阶退化条件时，我们建立了解的Gevrey 正则性。 (2)对于平坦底床上的稳定水波，当旋度函数仅仅是H？lder连续以及水波传播速度快于流体水平速度时，我们证明了素有的流线(包括上自由表面)的实解析性。进一步，如果旋度函数具有一定的Gevrey正则性，则流函数也具有相同的Gevrey正则性。 上述正则性结果不仅对于周其波或者固波成立，而且对于水动力方程的解也成立。 (3)我们研究线性的带约束外力势能的Boltzmann方程的亚强制性，对于适当的初始值和外力势能，建立了 Cauchy 问题解逼近稳态解的指数速率。 特别地，初始值可以选取的足够好使得质量、能量和部分角动量守恒，而且我们的势能可以包含一大类函数，包括多项式函数。 (4)我们考虑了一类动力学方程的模型，其中包括Landau型算子，分数阶动力学算子以及Fokker-Planck算子。这类算子是不带角度截断的空间非齐次Boltzmann方程的线性模型。利用乘子的思想，对于适当的外力势能，我们得到了算子的整体亚椭圆性。 (5)对于twisted Laplace算子，我们得到了整体的Gevrey和解析亚椭圆性，这类算子和Schr？dinger算子密切相关。