中文摘要：

拓扑图论起源于著名的Heawood地图着色问题，其研究结果在拓扑学、代数学、计算科学、离散几何、VLSI布线等领域有重要的理论和应用意义。 图的相对嵌入是拓扑图论领域的重要研究分支之一。本项目通过把图的2-胞腔嵌入理论发展到图的相对嵌入上来，主要研究相对嵌入的以下内容计算完全图、完全二部图等基本图类的相对最大亏格；确定图的相对最大亏格下界与可单面相对嵌入性；设计图的相对最大亏格嵌入的有效算法；确定完全图、完全二部图等基本图类的相对亏格；刻画低亏格曲面上图的相对嵌入特征。

结论摘要：

本项目以图在各种限制条件下的2-胞腔嵌入为研究对象。通过引入符号图的钻石积，确定了完全二部图K3,n的任意符号图的最小亏格的最大值，部分解决了Archdeacon提出的确定任意完全二部图的所有符号图的最小亏格的最大值问题。确定了非上可嵌入3-正则图均可由几类非上可嵌入3-正则图通过一系列的M-与N-扩充得到；利用刘彦佩教授提出的联树模型，给出了一类似Benzene结构图的亏格分布；研究了图在限定面边界条件下最大亏格的特征问题。