中文摘要：

图的连通性问题是图论学科中的一个基本问题，也是热点问题。在经典连通度的早期研究中，Menger和Whitney得到许多漂亮的结果。后来Harary等人在理论界又提出了超连通度、限制连通度、强限制连通度等连通性参数，从而更全面地刻画了图的稳定性。 1947年，基于四色定理的猜想，Tutte提出并研究了"笼"，自此笼得到了广泛的研究。"找笼"问题是公认的图论难题，目前已被确定的笼却只有几个，所以研究其结构性质显得格外重要，比如笼的顶点数的估计、笼的点(或边)的连通度。目前笼的连通性研究是一个比较热门的课题，笼的很多其它结构性质就是由其连通性而得到的。本项目将在已有的研究基础上，用超连通度、限制连通度等参数来进一步研究笼的连通度，同时为找到更多的笼提供新的理论基础。这方面的研究已经吸引了国内外众多学者的关注，这必将引起更大的研究热潮。

结论摘要：

本项目主要研究了(k,g)-笼的点连通度，得到目前最好的结果，发表在Acta Mathematica Sinica(English Series)；并证明了当g为奇数时，(4,g)-笼的超点连通度为4，结果发表在Graphs and Combinatorics上。此外我们还研究了控制数和覆盖数的关系、以及Vizing猜想，分别发表或接受在Graphs and Combinatorics，Information Processing Letters，Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society和Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing。