中文摘要：

约束力学系统的对称性与守恒量之间有着非常密切的关系，对系统运动的物理解释起着非常重要的作用。如今，对称性与守恒量的研究已成为近代分析力学发展的新动力，取得了长足的发展。特别地，梅凤翔于2006年提出一种弱Noether对称性。本项目基于梅的理论方法一方面重点研究完整力学系统、非完整力学系统、Birkhoff系统、非线性控制系统等各类约束力学系统的弱Noether对称性，并据此给出系统的一系列守恒量形式；另一方面研究弱Noether对称性与Noether对称性，Lie对称性以及形式不变性的关系，通过守恒量研究系统的稳定性问题。此外，针对抽象意义的系统探索研究更具实际背景意义的物理、力学、工程等实际问题，通过合理假设建立数学模型，在理论分析的基础上结合数学软件进行数值计算与模拟，使理论意义上的守恒量获得更为明确的实际物理意义，同时也希望能给数学物理中的偏微分方程提供一个行之有效的新的求解方法。

结论摘要：

本项目基于梅凤翔提出的弱Noether对称性的理论方法，重点研究各类约束力学系统的弱Noether对称性，并据此给出系统的一系列守恒量形式。主要成果有（1）Birkhoff系统的弱Noether对称性及相应的守恒量；（2）变质量非完整系统Tzénoff方程的Mei对称性与其导出的守恒量；（3）变质量高阶非完整系统Tzénoff方程的Mei对称性与守恒量。此外，还研究了某类非完整系统的Birkhoff化及其辛算法等。其成果有非完整系统Boltzmann-Hamel方程的Birkhoff化及其广义辛算法；（2）基于离散变分原理的Birkhoff辛算法。通过上述研究，为深刻认识约束力学系统的内在物理机制提供理论基础，同时结合数学软件进行数值计算与模拟，使理论意义上的守恒量获得更为明确的实际物理意义，促进分析力学在数值计算方面的发展。