中文摘要：

中高频声学问题的大规模科学与工程的快速计算是世界上倍受关注的研究问题，小波快速边界元方法为此提供了发展方向。本项目将建立一套完善的、能用于大规模工程实际的快速小波边界元求解方法，将为大型复杂物体中高频声辐射和散射问题的分析提供高效可靠的分析手段。研究中高频问题中准消失矩小波方法的前压缩方法，实现中高频问题的大规模快速计算；研究基于NYSTR?M方法的小波快速边界元方法，以获得一种矩阵系数无需积分计算、大量稀疏化，稳定性好，精度高的中高频大规模工程快速计算方法；研究基于GPU策略的小波快速边界元方法，以获得中高频问题小波边界元方法高效的系数计算方法；研究复杂物体中高频声学问题分析计算的基于Curvelet变换的快速边界元方法，研究该方法的矩阵元素预估方法和快速计算方法，该方法具有精度高、收敛快、自由度少的特点，能快速自适应求解复杂物体中高频声学问题的大规模科学与工程问题。

结论摘要：

大型复杂物体中高频声问题的大规模快速分析计算备受世界科学与工程界的关注，它们的研究具有重要的科学意义和工程应用价值。中高频声问题的大规模快速计算的难点主要是由于声学积分方程的核函数是振荡核，没有渐进光滑性，因此传统的快速边界元方法难应用于中高频声问题的大规模科学与工程计算。本项目主要研究中高频声问题的快速边界元方法，为大型复杂物体中高频声问题的分析计算提供高效可靠的分析手段。研究了高阶Nystr？m边界元方法，提出了一种与核无关的快速多极（Kernel Independent FMM，KIFMM）新的加速方法，构造了变阶的KIFMM，在此基础上，发展了基于KIFMM的加速配点边界元法和高阶Nystr？m快速边界元方法。提出了一种通用高效处理奇异和近奇异积分的计算方法，解决了高阶Nystr？m快速边界元方法中奇异与近奇异积分的难题。我们提出的核无关高阶Nystr？m快速边界元方法的特点是核函数无需多级展开，通用性好，系数无需积分计算（奇异点除外），不存在角点问题，实现简便，计算效率非常高，适合于大规模科学与工程的计算。研究了快速定向压缩方法（Fast Directional Algorithm, FDA），提出了基于Burton-Miller方程的快速定向边界元方法，克服了传统的快速边界元方法由于积分方程的振荡核使远场矩阵不能低秩逼近的困难，实现了复杂物体中高频声问题的大规模快速分析计算。开展了CPU+GPU架构的快速边界元的并行计算研究，基于GPU并行策略，开展了中高频声散射大规模工程计算的研究。我们发展的快速边界元方法是一种快速高效的宽频带求解方法，能在普通工作站上可求解超过500万自由度的大规模工程问题，实现了kD=1000(k为波速，D为结构最大特征尺寸)的大型三维复杂物体的声散射问题的快速分析计算；与目前国际上所报道的同类方法相比，我们的方法在计算效率上有明显的优势。我们研究的快速边界元方法不仅可以用于声学问题，而且可以求解大规模传热、弹性波动力学、电磁场等物理场问题。