中文摘要：

本项目致力于研究Zakharov方程、Klein-Gordon-Zakharov方程、Klein- Gordon-Schr?dinger 方程等在高维情形下的有限差分算法，此类问题的研究具有重要的理论意义和应用价值。由于这类方程非线性耦合且维数较高，并且高维情形下的最大模先验估计很难得到，这给快速高精度算法的设计和收敛性分析带来实质性困难。 本项目拟利用紧致差分或高阶差分等离散手段构造上述方程的高精度差分格式或紧致ADI格式，使得算法既保持原问题的某些物理性质又足够精确，同时设计合理的外推算法以进一步提高精度。理论研究方面，引入几个新的插值不等式和分析技巧，运用离散能量法，得到或避开困难的先验估计，证得算法在最大模意义下的收敛阶。计算方面，运用追赶法（针对紧致ADI格式）和代数多重网格法对算法生成的代数方程组进行求解，并对相关物理现象进行数值模拟。

结论摘要：

本项目运用有限差分法对非线性Schrodinger方程、Klein-Gordon-Schrodinger方程、Klein-Gordon-Zakharov方程、耦合非线性Schroding方程、Ginzburg-Landau方程、带旋转角动量项的Gross-Pitasvskii方程、Green-Naghdi方程进行了数值研究。数值上，运用时间方向的分裂算法、交替方向法和空间方向的紧致差分对上述问题提出了一些新的高精度数值算法；理论上，通过引入降阶法、H2估计、cut-off技巧和数学归纳法，运用能量分析方法对算法的收敛性进行了研究，得到了整体误差的最优估计。文章已分别被《Comunication in nonlinear science and numerical simulation》、《Numerical methods for partial difference equations》、《International Journal of Bifurcation and Chaos》等SCI杂志录用和发表.