中文摘要：

本项目将开展抛物型偏微分方程以及方程组的最短爆破时间最优控制问题的研究。其中控制施加在区域的内部或部分边界。这些问题有着广泛的应用背景。由于爆破时间最优控制问题的目标不在系统的状态空间中，因此这类时间最优控制问题与经典的时间最优控制问题有本质的区别。迄今为止，我们尚未从文献中发现对偏微分方程及方程组的最短爆破时间最优控制问题做任何研究。这一课题的核心任务是得到抛物型偏微分方程以及方程组的最短爆破时间最优控制的存在性，描述最优控制的特征，并且通过该研究刻画出偏微分方程的最短爆破时间最优控制问题与经典的时间最优控制问题的根本区别，丰富抛物型偏微分方程及方程组的爆破理论，同时为解决爆破时间最优控制问题提供一类行之有效的方法。

结论摘要：

抛物型方程及方程组的爆破时间最优控制问题在实际生活中有广泛的应用。例如可以用来描述通过施加催化剂使化学反应在最短时间内完成等现象。我们依计划得到了抛物型方程及方程组的爆破时间最优控制问题的存在性和Pontryagin最大值原理等结论。本项目的主要目标是解决抛物型方程及方程组的时间最优控制问题。为了看清问题的本质， 找到相对简单的情形时问题的解决方法，我们增加了常微分方程组爆破时间最优控制问题的研究，得到了某些常微分方程组爆破时间最优控制问题的存在性和Pontryagin最大值原理等结论。同时，我们在项目的进展中发现熄灭是比爆破更广的概念，爆破可以看作是一种特殊的熄灭现象。因此，我们在本项目中增加了熄灭时间最优控制问题的研究。由于爆破时间最优控制问题属于不适定方程最优控制问题的研究范畴，椭圆方程不适定最优控制问题的研究对抛物型方程爆破时间最优控制问题的研究有一定的指导意义， 故而我们增加了不适定椭圆方程最优控制问题的研究；此外，时间最优控制与能控性有密切的联系。我们在本项目中增加了抛物型方程能控性问题的研究。