中文摘要：

本课题主要研究抛物方程组的时间最优控制问题和能控性问题。对不同的方程在不同的区域上分别施加控制或只在其中的一个方程中施加控制是控制理论中的一个普遍问题。但这一类研究国内外尚处于摸索阶段。本课题将致力于对这一类抛物方程组的时间最优控制问题和能控性问题的研究。这一工作比研究对不同的方程在相同的区域上分别施加控制的时间最优控制问题和能控性问题更具有实际应用背景。

结论摘要：

我们研究了外区域上椭圆方程的区域优化问题，得到了区域优化问题最优解的存在性，并且对一类开区域集合建立了外伽马性质。我们还研究了热方程的时间最优控制问题，其中控制只是作用于局部区域上，目标集合是以0为中心的一个闭球。通过利用庞特里雅金最大值原理以及以及热方程解的某种唯一连续性，得到了原问题的时间最优控制具有bang-bang性质。我们研究了定义在无界区域上非适定椭圆方程的带有状态约束的最优控制问题。通过将原问题转化为定义在有界区域上适定椭圆方程的最优控制问题的研究，得到了原问题的最大值原理。另外，我们研究了Navier-Stokes方程的二阶充分必要条件。