中文摘要：

现今高科技的发展，使得许多常见的材料科学及流体力学等问题都必须使用多尺度耦合模型来研究，已有的耦合方法在处理某些问题时仍存在不少局限性。本项目致力于借助应用数学工具来研究这些多尺度的物理问题，在不同区域、不同尺度采用不同模型进行耦合。我们将主要研究基于特征展开的数值方法，利用具有原问题本质特征（如奇性或振荡性等）的特征函数构成基函数，以更好地逼近原问题的解；同时结合物理量的能谱分析给出耦合界面上适定的匹配条件，由此既可以经济地得到精确的微观尺度上的各种特征量，也可以得到需要的宏观量；此外将原有的重要守恒律建立到离散格式中，以保持物理量的守恒。从而期望解决一些倍受关注的问题，包括纳米损伤材料的应力分析、跨尺度的复杂（多相）流体计算、高频波的传播及其反演问题等。

结论摘要：

近年来随着科学技术的发展，越来越多科学与工程计算领域中问题都需要用多尺度耦合方法（模型）来解决。本项目在执行过程中按照预定计划，重点研究了多尺度材料科学问题、多尺度流体问题等方面的高效数值方法。主要取得以下几方面结果。 1、提出了用于多尺度波动问题的基于特征展开的量身定做有限胞/点方法。 2、研究了多尺度椭圆问题的高效数值解法，尤其是研究了带有边界层/内层等复杂结构的二阶/四阶椭圆问题的解法，提出了基于特征展开的有限点格式。 3、提出了求解多尺度流体问题的任意四边形单元上的非协调有限元方法。 4、研究了磁振子问题中具有磁极相互作用势的非线性Schr？dinger方程以及X射线问题中自由电子激光辐射运动的高效数值方法。 5、提出了量子力学中描述相对论效应的Dirac方程组的耦合数值解法。 6、初步开展了材料探伤、地质勘探等领域中界面探测反问题的研究，在二阶椭圆方程的系数反演问题方面取得了突破进展，给出了高稳定性、高精度的快速收敛算法。