中文摘要：

二维非线性双曲守恒律方程组的Riemann问题的研究有着重要的理论意义和应用价值。至今对于一维非线性双曲守恒律方程组和二维标量守恒律的研究已取得许多重要成果，但是关于二维非线性双曲守恒律方程组的工作仍较少。在本项目中,我们将对二类特定类型的二维非线性双曲守恒律方程组的Riemann问题进行系统研究。我们不仅研究自相似的二维Riemann问题，即初始状态分别为三片常数和四片常数的情形；同时还研究非自相似的二维Riemann问题，即一条光滑曲线把初始平面分成两块无限区域或一块无限区域和一块有限区域的情形。对于自相似的二维Riemann问题，我们将利用广义特征分析法构造出二维Riemann问题的整体解。对于非自相似的二维Riemann问题，我们将发展新的思路、方法和技巧，在对初始间断曲线作适当的假设下,构造出其全局整体的Riemann解并发现新的二维现象。

结论摘要：

本项目我们主要研究了一维非严格双曲守恒律方程组在三片常状态下的Cauchy问题，某些特定类型的二维非严格双曲守恒律方程组的Riemann问题，以及非严格双曲守恒律方程组中狄拉克激波的奇异极限问题，我们的研究成果主要分成以下三个部分。（1）对于一维非严格双曲守恒律方程组在三片常状态下的Cauchy问题，其本质就是研究非严格双曲守恒律方程组基本波的相互作用问题。我们利用特征分析法并结合广义函数的方法，重点研究了流函数带有间断系数的双曲守恒律方程组,并取得较好的研究成果，例如发现Dirac驻波，Dirac接触间断和分支现象等一些新的奇异现象，并对这类非严格双曲守恒律方程组的Riemann解的稳定性进行了分析。 (2)我们利用广义特征分析法对一类简化的二维非线性双曲守恒律方程组在四片常状态下的二维Riemann问题构造出全局解，发现了Dirac接触间断解的存在性，并通过建立与其一维Cauchy问题解的对应来验证我们构造的解的唯一性。我们利用广义特征分析法对一类简化的二维非线性双曲守恒律方程组在三片常状态下二维Riemann问题构造出全局解，并发现了Guckenheimer结构等一些真正的二维现象。此外，我们还研究了二维定常的相对论Euler方程组的Goursat问题和混合的初边值问题。对于二维非严格双曲守恒律方程组的非自相似Riemann问题，我们对一类简化的二维非线性双曲守恒律方程组进行了初步分析，并构造出非自相似Dirac激波和真空状态等奇异现象。（3）我们还研究了非严格双曲守恒律方程组中狄拉克激波的奇异极限问题，对非线性双曲守恒律中的奇性解及其形成的机制进行深入的分析。我们证明了Aw-Rascle模型的Riemann解不能收敛到一维零压流模型方程的Riemann解，但若要求方程组中交通压力以不同的速度趋于零，则其Riemann解将收敛到一维零压流模型方程的Riemann解。此外，我们严格证明了等熵的磁空气动力学模型方程中当压力和磁场同时消失时，它的Riemann解也将收敛到相应的一维零压流模型方程的Riemann解。本项目共发表数学论文14篇，其中在数学类SCI期刊上发表论文12篇，并有部分结果发表在国际著名数学期刊上，较好的完成了本项目的研究工作。