中文摘要：

大规模代数系统的数值解法问题由于其在工程领域中的实际应用，已经引起了众多学者的重视。本项目根据大规模代数系统产生的实际背景和结构特点，采用矩阵低秩分解的思想，利用高阶分块方法，研究求其数值解的多种预条件方法、等价的约简降阶模型以及多种求解大规模代数系统的预条件快速降阶算法。重点研究含参数预条件方法的参数优化问题；研究基于矩阵低秩分解逼近的函数预条件子对鞍点问题数值解迭代算法收敛速度、算法的复杂性以及对迭代矩阵谱半径的扰动问题；研究通过预条件方法，以加速计算的收敛速度，节约计算数据存储空间为目标的大规模代数系统的等价约简降阶系统和降阶模型算法；利用预条件思想，研究Arnoldi-Type、Krylov子空间、共轭梯度、矩阵HSS分裂迭代等算法的预条件可降阶算法。最终拟研究出求解产生自流体力学、电磁学、图像重构等一些具有实际应用背景的大规模代数系统的等价约简降阶模型方法和预条件降阶算法。

结论摘要：

本项目主要研究了三大类问题。第一，在利用大规模迭代算法求解带有多频高振荡强迫项的二阶微分方程和投影型反馈神经网络的过程中，研究数据舍取阈值的合理设定问题。对于带有多频高振荡强迫项的二阶微分方程，提出了一种有效的渐近展式算法，该算法不仅可得到振荡因子负阶的级数逼近方程的解，还可有效地离散此类微分方程。对于投影型反馈神经网络，借助反馈神经网络非线性激活映射的本质特征，基于Lyapunov 泛函方法和矩阵测度理论，直接去掉了网络中激活映射的对角非线性限制，得到了若干改善现有神经网络稳定性和收敛性结论的理论研究成果。第二，研究大规模代数系统的预条件迭代算法和等价约简降阶模型以达到减小计算量的目的。首先研究代数系统系数矩阵的Schur-补性质、特征值和奇异值的扰动界及约简性质，得到了若干关于特殊类矩阵的Schur补的理论结果以及块三对角矩阵的特征值和奇异值的扰动界估计；然后构造大型稀疏鞍点问题和（广义）Sylvester方程的预条件子并分析预条件迭代算法的收敛性，对鞍点问题提出了几种修正的广义加速超松弛迭代算法以及Uzawa型迭代算法，对（广义）Sylvester方程在系数矩阵为正定矩阵时提出了几种高效的类Smith方法，并且分别对所提出算法的收敛性进行了分析；最后研究了对于周期响应下非线性电路的稳定态分析问题和UPPAM反馈神经网络模型，对于前者，给出了用三次样条插值小波调和平衡法和周期Daubechies小波平衡法的理论分析以及所得Jacobian矩阵的稀疏性分析，对于后者，给出了其在两种不同条件下的动力学行为分析。第三，研究低维张量逼近和余稀疏表示模型。对于张量空间的最佳秩-1近似比，建立了其与张量正交秩的关系，提供了一种估计其上界的方法并且得到了该上界。分别证明了两类特殊结构张量最佳低秩逼近的存在性及一般张量最佳秩-1逼近的上下界。对于余稀疏表示模型，在具有自适应加权性质的贪婪分析追踪算法的基础上，提出在噪声环境下的求解信号重构问题的重加权贪婪分析追踪算法，并分析了算法的收敛性及求解模型的误差上界。