中文摘要：

离散网格模型是计算机辅助设计、计算机图形学以及数值计算当中重要的几何形状表示方法。各种应用和算法对网格的节点数量、单元（多边形或多面体）形状以及整体拓扑结构提出了多种多样的要求，因此将一个网格模型重新离散剖分为满足特定要求的另一 个网格模型有着重要的意义。现有的重网格化技术大都采用自下而上的生成策略，在整体结构、单元形状以及计算效率方面都有明显不足。本项目拟就曲面模型和实体模型的重网格化展开深入的研究，采用自顶向下的思想，从形状分析入手，探索计算效率高，结果结构性好、单元形状优的重网格化技术，力图在基于语义分析理解的模型分割、对称方向场的构造、大规模整数问题求解等重要问题上取得突破，建立基于形状分析的高质量重网格化理论框架。同时， 本项目还将结合数值计算、三维模型样条重建等实际应用，提出和实现具体算 法，在PC机集群上完成并行层次数值计算的原型系统，验证重网格化结果的质量。

结论摘要：

本项目围绕离散网格模型的生成、优化以及相关的数值模拟计算问题进行，采用包括形状分析、黎曼流形等方法来解决其中的关键难题，在曲面模型四边形网格化、实体模型六面体化以及流体、弹性体的高效模拟计算等方面取得了一系列重大突破。在四边形化方面，我们通过优化计算和利用曲面上的黎曼度量，使用更为丰富的四边形形状进行网格曲面的剖分，扩大了全局结构优化的解空间，从而在复杂多样的约束条件下，仍能自动、鲁棒地获得高质量四边形网格；为给四边形化提供更为高层次的语义性指导，我们还提出了基于半监督学习的曲面网格剖分及基于分治思想的重网格化等技术；为分析指导四边形化的方向场，我们还提出了高效直观的交互式曲面流场可视化技术。在六面体化方面，我们基于球面对称函数和球面调和分析，提出了能够同时刻画三维立方体对称标架的对称性和光顺性的高效代数表示，首次自动构造了边界对齐的光顺标架场，并进一步可证明地检测和修复其所有局部退化；为避免全局拓扑退化，我们提出的基于表面法向1范数优化的方法，能够自动、鲁棒、可靠地生成多立方体结构的六面体网格。在模拟计算方面，我们采用局部支撑的不可压流场形状模板作来极大降低模拟计算的代价，从而实现交互的流体动画编辑修改，还提出了基于涡旋形状结构的方法来增强浅水方程模拟方法的细节；我们在旋转-应变空间将弹性力学方程中的局部旋转进行线性化，在高效的逆向物理材料重建和实时弹性模拟模拟计算中取得了巨大的效率提升；此外针对柔性模拟中碰撞接触的局部凸结构和几何形状上的冗余性提出了拓展的投影共轭梯度法极大提高了算法的收敛率；通过分析不可拉伸条带的形状特性，采用时变的四边形来离散化条带，提高其模拟的精度和效率。以上研究解决了曲面四边形化方法中方向、密度、特征之间不可调和的矛盾；首次给出实体六面体化中方向场构造的高效数学表示方法，并部分解决其拓扑结构矛盾的问题；基于线性化、降维和优化离散表示，给出了面向流体和柔性体的高效计算方法。项目执行期内，本人总计发表论文20余篇，其中标注资助的有16篇，其中包括国际顶级学术期刊ACM TOG，IEEE TVCG论文9篇，迄今google scholar引用总计137次，单篇最高引用36次。申请发明专利6项，软件著作权1项，获授权的发明专利7项。在本项目资助下，本人2015年还获得了“国家自然科学基金优秀青年基金的资助”。