中文摘要：

复杂系统多领域统一建模中，基于Modelica的协同设计仿真平台， 采用了支持数学方程的、非因果的、基于图形组件的建模手段，实现了视觉上的所见即所得，给工程设计人员带来极大便利，却将巨大困难推向DAE问题求解器，最终形成高指标的DAE，耦合方程数目达到数百上千。与基于微分指标的DAE求解相比，基于结构指标的DAE求解是一类快速算法，它基于拟阵，通过图论手段，消除问题奇性，将大的DAE系统约简为小的、低指标的、可求解的四类DAE系统之一，算法实现的关键在于高指标的稳定约简。基于结构指标的约简算法不满足V&V质量规范，小概率地导致求解的失效。问题的解决，需要采用组合松弛理论与算法实现，涉及到应用数学、计算机软件与理论、高性能计算等领域的交叉。本项目意图就结构指标约简算法的失效问题，从检测与修复层面进行算法研究和程序实现，最终为仿真工业领域推出健壮的、高效的DAE通用算法求解器数值软件包。

结论摘要：

我们在“DAE问题高效求解数学算法库”的研制过程中发现，主流的基于结构指标约简的DAE问题高效求解器，小概率情况下在结构指标约简某个程序分支存在breakdown现象，它的根本原因在于结构指标约简的失效。在本基金的执行过程中，我们解决了结构指标约简失效的问题，使得基于结构指标约简的DAE问题求解库具有健壮性，同时又不失其固有的高效性，为基于Modelica语言的建模仿真平台提供稳定的高效求解器。在本基金的执行过程中，我们所研究的内容主要有结构指标约简中的失效检测方法，包括最小奇异子集的检测、结构指标的计算、结构指标与微分指标的比较等研究；结构指标约简中的失效修复方法，包括组合松弛理论、秩约束条件、矩阵求秩算法、组合松弛修复算法的研究；DAE问题的高性能求解器的实现，包括数值计算软件包的分析、指标约简功能模块的分解与集成、指标约简失效检测与修复模块的集成、ODE求解功能模块的分解与集成、四类可求解的特殊形式DAE子系统求解模块、迭代算法与预处理模块、高指标DAE问题求解器的搭建等。在本基金的执行过程中，我们获得的结果主要有针对结构指标约简失效的检测和修复，进行了理论分析，给出了一套失效检测和修复的算法框架；针对结构指标约简失效的检测和修复，进行了算法设计和程序实现；将结构指标约简失效检测与修复功能集成至高指标DAE问题求解器，获得了一套健壮的、高效的、基于结构指标约简的高指标DAE求解的程序实现代码。基于图形化建模的Modelica语言是多领域建模仿真技术的主流之一，尤其在工业4.0时代，它是未来发展的主流技术。复杂系统经过Modelica语言建模之后，通常被描述为一个高指标的DAE。主流的DAE求解方法是采用结构指标约简算法将高指标的DAE约简成为可直接求解的DAE，再进行数值求解，但是传统的结构指标约简算法存在小概率的约简失效问题。本基金解决了该约简失效问题，形成了健壮的、高效的DAE问题求解器，可能在基于Modelica的大规模建模仿真相关领域中具有潜在的重要意义与应用价值。