中文摘要：

局部紧量子群是具有理论物理背景的Hopf C*代数。项目将围绕局部紧量子群展开如下工作 1）局部紧量子群的玻尔紧化。首先以C*-离散量子群为出发点，研究不可约表示都是有限维的局部紧量子群，借助矩阵元构造几乎周期元，证明几乎周期元生成的C*-代数是有单位元的Hopf C*-代数，即紧量子群，从而给出量子玻尔紧化，并在局部紧离子群范畴和紧离子群范畴之间建立对应关系。 2）紧量子群的非交换几何性质。考察紧化量子群和以紧量子群Uq(2)为代表的交叉积代数，利用Haar测度刻画其不可约表示，研究Dirac算子和谱三元组存在的条件。继而利用谱三元组，研究紧量子群的非交换几何性质。 3）最后,计算Uq(2)的K-群，并和与形变之前的C*-代数C(U(2))的K-群进行比较，从中从中找出量子化与交叉积的关系，并探讨量子化实质。

结论摘要：

研究工作主要包括 研究量子场代数中的量子Galois对应。设G是有限群，D(G)是G的量子Double代数，则G-旋模型场代数是特殊的量子场代数，是研究量子场论的起点。它作为C*-代数，是D(G)-模代数。通过研究G-旋模型场代数的内部对称结构，证明在G-旋模型场代数中，由子群所确定的观测量代数（即子群对应的Hopf代数的不动点代数），是Galois封闭的，从而在算子代数框架下，继C.Dong， V.F.R.Jones等人之后给出了满足量子Galois对应的新的例子。 研究紧量子群$U_{theta}(2)$的非交换几何性质。在Woronowicz等人关于紧量子群$U_q(2)$以及非交换几何性质的基础上，构造并研究了紧量子群$U_{theta}(2)$的性质，这里$\theta$是无理数。首先利用外微分运算给出$U_{theta}(2)$的有限维酉表示所对应的无穷小生成元，证明部分无穷小生成元可以生成与sl(2,C)同构的Lie代数。通过sl(2,C)不可约表示的性质，给出$U_{theta}(2)$的表示是不可约的充分必要条件，从而给出不同参数对应的紧量子群$U_{theta}(2)$是同构的充分必要条件. 利用K理论系统研究环上的典型群和拟典型群的结构。在代数K理论中，K_1群的结构十分复杂，且与许多其它问题紧密相关。本项目研究了K_1群的相关结构，特别的，研究了典型群和拟典型群的K_1群的三明治猜想及它的亚正规子群结构，针对典型群和拟典型群的K_1群的对换子子群的结构及分布问题，给出了不同形式的对换子公式。 此外，还研究完备的算子值距离空间上的压缩映射原理，算子值Hilbert空间上的Riesz表示定理，以及可分Hilbert空间或者Banach空间上的依坐标收敛的代数性质和拓扑性质。