中文摘要：

在高维流体力学的计算问题中，为了清晰地分辨多介质的物质界面，经常采用Lagrange方法。但对于大变形问题的计算，计算网格经常严重扭曲，甚至导致计算中断，无网格方法是解决这类问题的有效途径之一。本项目提出了Lagrange有限点方法，即在二维平面求解区域上科学地布置离散点集，视每点为Lagrange点，在其上将Lagrange流体力学方程离散，研究其相关的离散方法。主要研究内容为1）离散点集的科学布点方法，研制相应程序；2）开展任意点集上离散方法的研究，建立方法的理论分析框架；3）将获得的离散方法应用于典型的二维流体力学问题，这些问题在有网格方法情况下是难以解决的。本项目要解决的问题来源于实际需要，研究成果具有很强的应用背景和很好的应用前景。同时，这些成果还可以应用到其它问题，如多尺度问题的数值模拟中，具有很好的推广应用价值。

结论摘要：

为解决流体力学计算中的多介质大变形问题，无网格方法的研究成为热点之一。本项目提出与研究了Lagrange有限点方法，开展任意离散点集上偏微分方程离散方法的研究工作。针对二维散乱离散点集，应用方向微商和方向差商，建立了方法的分析基础建立各阶各方向微商间的关系式；利用这些关系式，建立多种高效数值方向微商公式；研究数值微分问题的可解性条件与可允许邻点集；获得典型微分算子的数值方向微商公式等。这类公式不仅为在散乱离散点集上构造各类偏微分方程的格式奠定了基础，也可应用于偏微分方程非结构网格计算，提高方法精度。对二维计算流体力学问题，基于Godunov方法，设计三种激波捕捉方式，提高了激波分辨率；在能量方程中引入人工热传导项很好地抑制了'壁热'现象；利用Riemann解构造新的人工粘性，提高了稀疏波计算精度；数值模拟结果令人满意，部分算例在有网格情形难以计算。对扩散问题，结合有限点方法和有限体积方法构造了多种高精度离散格式，格式适用于任意多边形及非匹配网格等非结构网格；结合邻点选取方法，构造了一类有限点无网格扩散格式，离散解具有近似二阶精度。课题的研究成果，为有限点方法的深入研究奠定了基础。