中文摘要：

自适应有限元方法是求解偏微分方程的最有效的数值方法之一，是当前科学计算研究的热点，但是长期以来，自适应有限元方法的数学理论进展相对缓慢，其自身的收敛性和误差估计的研究还处在初始阶段。本课题的主要目的是研究自适应有限元方法的收敛性及其最优的误差估计。主要研究内容包括完善基于D?rfler标记策略的残量型自适应有限元方法的收敛性和最优性；提出一个研究自适应有限元方法收敛性和误差估计的一般性框架；分析不同的网格单元标记准则以及数值迭代求解离散方程组的不同终止标准对这些自适应有限元方法的收敛性和最优性的影响。本课题的研究将进一步完善和发展自适应有限元方法的数学理论。

结论摘要：

自适应有限元方法在计算数学和工程界流行了近40年，已经成为科学计算领域一个非常重要的研究课题。大量的工程计算实践表明，自适应有 限元方法是数值求解偏微分方程的具有最优计算复杂性的方法之一。其收敛性和拟最优复杂性的数学理论研究在近些年来取得了很大的进展，并已经形成一个计算数 学界一个热点研究领域之一。我们在本项目里研究了Stokes流体问题基于残量型后验误差估计的自适应混合有限元方法，给出了著名三角形Crouzeix-Raviart元 和 矩形Ranncher-Turek旋转Q1元等自适应低阶非协调有限元方法的收敛性和拟最优性理论分析。然后把我们的结果推广到了多变量耦合的一类最优控制问题和热通量数值重构问题的基于残量型后验误差估计的自适应有限元方法。通过本项目的研究我们提出了一个自适应有限元方法收敛性和误差估计的一般性理论框架。此外，我们在自适应有限元后验误差估计以及诸如边界元方法，非协调有限元方法，各向异性有限元方法等研究方向也取得了一系列的重要成果。