中文摘要：

该项目研究非局部紧度量空间中动力系统孤立不变集的Conley-Morse理论（C-M理论）及其应用方面的一些问题。首先，我们通过构造Morse-Lyapunov函数并推广相应的形变引理重新构建自治系统不变集的C-M 理论。这一工作不仅大大简化了非局部紧空间的C-M理论，而且将其统一到了经典的泛函Morse理论的框架下。其次，引入便于计算的形指标偶概念，并结合泛函方法完整地建立非局部紧空间的形C-M理论，去掉已有工作中一些难以验证的附加条件，同时利用强形变引理推广泛函Morse理论中的"胞腔粘合定理"，从形的角度刻画自治系统孤立不变集的拓扑构造。再次，作为上述工作及其思想方法的应用，建立山路型孤立不变集的存在性结果，并用以研究一些典型的非线性发展方程定态解和完全有界轨线的存在性。最后，我们打算建立非自治系统拉回吸引子和非自治孤立不变集的形C-M理论，并讨论自治系统的非自治扰动等问题。

结论摘要：

该项目研究非局部紧度量空间中动力系统孤立不变集的Conley-Morse理论（C-M理论）及其应用方面的一些问题。首先，我们通过构造Morse-Lyapunov函数并推广相应的形变引理重新构建自治系统不变集的C-M 理论，大大简化了非局部紧空间的C-M理论。其次，引入了便于计算的形指标偶概念，结合泛函方法建立了不变集的形C-M理论，推广了文献中的相关工作，并去掉了其中难以验证的一些附加条件。再次，我们系统地建立了一般度量空间中局部半流的环绕定理和山路引理，这一工作包含了变分的相关理论作为特殊情形，不仅使得我们可以解决动力系统的问题，同时可直接用于变分问题，在难以检验P.S.条件的情况下讨论其临界点的存在性。事实上，我们用半流的环绕定理证明了共振情况下非自治热方程回复解的存在性，在无P.S.条件的情况下证明了超线性Schrodinger方程正解的存在性。最后，利用Conley指标和微分方程的几何理论建立了Banach空间中非线性发展方程的大范围不变集分支定理，将著名的Rabinowitz全局分支定理推广到了动态情形，且去掉了“跨奇数重特征值条件”。这些工作将在一定程度上对不变集的Conley指标理论、Morse理论、变分问题和大范围分支理论产生积极的影响和推动作用。