中文摘要：

以最小的计算代价获得满足精度要求的解，从而提高计算效率，一直是科学与工程计算研究者致力解决的重要问题之一。后验误差估计则是解决这一问题的有效手段。本项目针对非线性不可压缩粘性流体问题，研究数值逼近中的稳定化有限元方法的后验误差估计。我们结合低次有限元配对结构的简单性和后验误差对局部误差的指导性，对定常及非定常Navier-Stokes方程的稳定化离散格式，构造恰当的后验误差估计子，由该估计子控制稳定化有限元逼近解误差的上下界；利用有限元离散解的信息和已知量计算逼近误差，研究有限元解的误差分布，从而指导有限元自适应网格加密，提高解的计算效率；最后，我们将设计Navier-Stokes方程稳定化有限元方法的后验误差估计程序，通过数值模拟研究非线性问题解的奇异分布，进而研究湍流发展的机理和行为，为非线性科学的研究和发展及计算流体力学在工程技术中的应用提供新的研究途径。

结论摘要：

本项目研究不可压缩流体稳定化有限元方法后延误差估计。其主要结果包括两方面内容（1）构造和分析低次元的稳定化算法，（2）探究Navier-Stokes方程稳定化有限元方法后延误差估计。在第一方面，构造和分析了定常和非定常不可压缩方程多项式压力投影方法，非协调多尺度算法，并分析了两层稳定化有限体积算法（1）构造和分析了多项式压力投影方面求解非定常Stokes方程，该方法具有计算简单，无条件稳定和最优误差估计等优点，相比其他方法，该方法得到的数值解精度更好。(2）分析了定常Navier-Stokes方程的稳定化多尺度有限元算法，该方法利用求解速度的多项式空间，实现低次等阶元求解非线性问题的目的。我们构造的离散格式是无条件稳定，并具有最优阶的误差估计。(3) 探究了定常Navier-Stokes方程的两层稳定化有限体积算法，利用线性项有限体积方法变分形式和有限元方法之间的等价性，根据迭代格式的不同，给出了三种离散格式，并分析了三种格式的稳定性和收敛性，得到了些有意义的结论。第二方面，给出了非线性问题低次等阶有限元的后延误差估计，主要是基于残量型误差估计。（1）探讨了定常Navier-Stokes方程的稳定化有限元方法后延误差估计，利用稳定化技巧，给出后延误差估计子，该估计子由方程的残量部分和局部投影构成，理论上我们证明了误差的整体上界和局部下界性，并通过数值算例验证算法有效性。（2）分析了Stokes特征值问题的稳定化有限元方法后延误差估计，基于先验估计的结果，我们构造了简单的投影误差估计子，给出了误差的整体上界和局部下界，并通过算例验证估计子的有效性。