中文摘要：

本项目主要研究带弱条件的非线性椭圆型复方程一些问题（包括高维区域情形）的适定提法及其可解性，用复分析方法研究双曲型和混合型偏微分方程的某些边值问题（包括带退化线的问题和Tricomi问题），研究有关的反演问题，讨论椭圆型方程解的性质及拟正则映射中的某些问题，同时进行相关应用与数值计算的研究。本项目主要是进一步解决国际上非线性偏微分复方程中未解决的理论与应用问题。长期以来，复分析方法在偏微分方程应用基本上局限于研究椭圆型方程和方程组，本项目预期进一步将复分析延伸到对双曲型、抛物型及混合型偏微分方程的研究，并进行高维区域中椭圆型方程一些问题的研究，同时探讨有关的反演问题及应用，从而开拓复分析研究的新领域，所用方法具有一定特色，预期研究成果在方程的一般性、边界条件的广泛性和区域的多样性等方面有独到之处，有着较好的发展前景，将会对复分析方向的发展起到积极的推动作用，并具有重要的理论价值与应用前景。

结论摘要：

本项目主要研究偏微分复方程及反演与应用，讨论非线性椭圆型复方程一些问题的适定提法及其可解性，用复分析方法研究混合型和双曲型偏微分方程的某些边值问题，研究偏微分方程的系数反演问题以及期权定价反问题，讨论椭圆型方程解的性质及拟正则映射中的某些问题，同时进行相关应用与数值计算的研究。经过三年的研究，本项目取得了一些重要进展，圆满完成了预期的科研任务，已发表了学术论文27篇，其中13篇被SCI收录，出版1本专著和1本国际会议论文集。主要成果有利用复分析方法证明了高维区域和无界区域上非线性椭圆型方程组的一般斜微商边值问题解的存在唯一性；引入了新的形式微商，利用解的先验估计和连续性方法、不动点原理等，研究了多连通区域上的非线性混合型方程，带零退化秩的非线性二阶混合型方程的斜微商问题，带退化线的一阶混合型复方程的Riemann-Hilbert问题，带抛物退化线和退化双曲线的二阶非线性混合型方程的斜微商问题，以及二阶双曲型复方程的的斜微商问题，给出了这些问题的可解性结果；提出并论证了多连通区域上带Riemann-Hilbert型映射的椭圆型复方程系数反演问题，给出了重构系数的一种新方法，同时证明了这一反问题解的整体唯一性。利用Newton嵌入法论证了力学中一类逆边值问题解的存在唯一性，并给出相应边值问题的近似解法和数值分析。使用投影梯度正则化方法和最小相对熵正则化方法研究一般Black-Scholes方程和带跳跃扩散型的期权定价反问题，给出了一些数值算法，数值实验表明了所提算法的有效性。对于欧式期权，提出了一个正则化的最小二乘算法，反演局部波动率系数，有效地解决了在期权市场价格已知前提下的波动率校准问题。研究了A-调和方程和障碍问题的一些性质及不等式，主要给出了A-调和方程障碍问题弱解的局部正则性和局部有界性结果，各向异性障碍问题解的局部正则性，具有多个空间变量的拟正则映射的正则性，以及散度-旋度场的正则性结果；论证并得到了具有权函数的障碍问题很弱解的Caccioppoli不等式。我们的研究方法有一定特色，其成果有独到之处，会对复分析方向产生较大影响，并具有重要的理论意义和应用前景。