中文摘要：

本项目将运用无限维Liapunov-Schmidt约化方法研究两类非齐次Allen-Cahn方程在一般维黎曼流形上聚集层解的存在性，确定任意多的层所在的位置及其相互距离，并利用Liouville变换研究二维流形上存在聚集层解时方程中的小参数所满足的非共鸣条件。我们将通过多次构造合适的近似解以逐步提高精度，并确定那些层所在位置的参数函数所满足的微分系统（分别为Jacobi-Toda系统与Toda系统）及求解所得系统，以得到对小参数的某一趋向于零的序列聚集层解的存在性结果及二维流形上小参数所满足的非共鸣条件。本项目将揭示在流形所在度量结构下这两类非齐次方程中的势函数对聚集层解的决定性作用，其研究成果有助于了解流形上非齐次Allen-Cahn问题聚集层解的产生机制及对相应齐次Allen-Cahn问题聚集层解的理解提供帮助。

结论摘要：

本项目通过运用无限维 Liapunov-Schmidt 约化方法分别得到了两类非齐次 Allen-Cahn 方程在一般维黎曼 流形上与一般维欧氏空间内有界区域上层解与聚集层解的存在性，确定了任意多的层所在的位置及其相互距离。我们通过多次构造合适的近似解以 逐步提高精度，并确定那些层所在位置的参数函数所满足的微分系统（Jacobi-Toda 系统）及求解所得系统，从而得到了对小参数的某一趋向于零的序列聚集层解的存在性结果。本项目揭示了在流形所在度量结构下这两类非齐次方程中的势函数 对聚集层解的决定性作用，其研究成果有助于了解流形上非齐次 Allen-Cahn 问题聚集层解的产生机 制及对相应齐次 Allen-Cahn 问题聚集层解的理解提供帮助。