中文摘要：

地图投影及其变换涉及大量的椭圆函数幂级数展开、隐函数复合函数微分、椭圆积分、复变函数运算等一系列繁琐的数学分析过程，人工推导不但费时费力，而且容易出错，有时由于难以忍受的复杂性等各种原因，甚至根本无法实现。本项目将以现代计算机代数系统为基础，借助其强大的数学分析功能和符号运算能力，针对地图投影及其变换特定领域中的一些典型数学分析过程，如传统地图投影及其变换中的各种以偏心率为基础的椭圆函数幂级数展开、椭圆积分、复变函数运算和空间地图投影中的复杂级数展开、高阶导数求取进行系统的研究。这些研究将能够极大地提高地图投影数学分析过程的效率，而且可以实现过去人工推导难以完成的公式和算法，大幅度提高计算效率和计算精度，实现地图投影学特定领域某些数学分析过程的创新，丰富当代地图投影学的数理基础。相关研究成果可广泛应用于与地图投影学相关的地理信息系统、计算机地图制图、遥感、测量等领域。

结论摘要：

本项目以现代计算机代数系统为基础，借助其强大的数学分析功能和符号运算能力，针对地图投影及其变换特定领域中的一些典型数学分析过程进行系统的研究。取得的研究成果具体体现在（1）将计算机代数分析方法系统地应用于地图投影数学分析，极大地提高了分析效率和计算精度，一定程度上革新了地图投影数学分析理论和算法。（2）推导和建立了地图投影中常用纬度间变换的符号表达式，将以往反解系数的数值形式改进为椭球偏心率的幂级数形式，在这一研究方向取得了突破和创新。（3）推导出了子午线弧长、等量纬度和等面积纬度函数间变换的直接展开式，以此为基础，系统地建立了不同变形性质正轴圆柱投影和正轴圆锥投影间的直接变换模型，避免了传统间接变换“圆柱→椭球→圆锥”繁琐的计算过程，极大地提高了计算效率和计算精度。（4）借助复变函数理论深入讨论了常用等角投影及其变换的复变函数表示。以子午线弧长和等量纬度变换的直接展开式为基础，建立了高斯投影正反解的非迭代复变函数表示，导出了高斯投影、墨卡托投影和等角圆锥投影、拉格朗日投影间变换的复变函数表达式，一定程度上丰富了等角投影及其变换理论。（5）针对球体横轴墨卡托投影公式在极区出现奇异现象及极区投影公式不统一问题，通过引入余纬度，对原有公式进行特定函数变换，推导出了极区横轴墨卡托投影非奇异公式；通过引入复数余纬度，并基于子午线弧长公式及复变函数理论，推导出极区非奇异高斯投影一体化复变函数表示式。本项目研究极大地提高了地图投影数学分析过程的效率和计算精度，实现了地图投影学特定领域某些数学分析过程的创新，丰富了当代地图投影学的数理基础。相关研究成果可广泛应用于与地图投影学相关的地理信息系统、计算机地图制图、遥感、测量等领域。