中文摘要：

本项目研究内容包括对回文式特征值问题发展保辛结构算法及进行相关的理论研究，并在此基础上利用Arnoldi算法和GPU高性能计算技术结合并行的思想对超大规模回文式特征值问题发展保结构算法，然后将该算法应用在实际工程模型中。首先在加倍保结构算法SDA的基础上，利用回文式特征值问题的结构特点发展保辛结构的高精度的算法，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析；在此理论工作基础上，从实际问题的背景入手，改进高速火车振动分析中的回文式二阶特征值问题模型，并考虑用基本矩阵论的知识证明其解的存在性；利用有限元方法和Bloch-Floquet定理配合适当的边界条件对周期表面声波过滤建立回文式特征值问题模型；结合这些模型各自不同的结构特点和计算要求，探索相应的可以避免模型压缩、线性化等中间环节而直接作用在原始问题上的保结构算法。

结论摘要：

本项目主要研究目的是对几类回文式特征值问题和非线性矩阵方程发展保结构的高效能算法，并对所发展算法的收敛性、稳定性进行理论分析。对具有周期几何结构的表面声波过滤问题，根据Bloch- Floquet 理论，利用有限元方法，建立了两类 T-回文式二次特征值问题的离散模型；利用回文式特征值问题的辛结构特点，发展了SA, SDA, TSHIRA和GTSHIRA 四种保结构算法；对这四种算法进行数值实验，将它们的精度和运算量进行对比，发现带 “重辛化”和“重双各向同性化”的 TSHIRA 和GTSHIRA 算法虽然与 SA 和 SDA 达到同样的精度，但对工程上感兴趣的靠近单位圆的特征对效率更高，圆满完成了研究计划中关于表面声波过滤问题的研究任务。基于加倍保结构算法SDA，利用 Sherman-Morrison-Woodbury 公式，对系数矩阵为大规模的稀疏加低秩结构的离散型、连续型和非对称型的代数 Riccati 方程，发展了可行的保结构算法 SDA_ls 及 SDA_ls_ε，并对算法进行相应的误差分析。对大规模的 Stein 及 Lyapunov方程，提出了修正的Smith算法，其每一步迭代的运算量和存储量是 O(n) 量级且以二次的速度收敛。为了计算大规模二次特征值问题的一部分模最小的特征对，我们发展了半正交化的广义的Arnoldi 型算法（SGA），巧妙地避免了对原问题进行线性化处理；结合隐式重启动、精化、平移等技巧，提出了 RSGA，IRSGA 和 IRRSGA 三种算法；大量的数值实验表明， IRSGA 和 IRRSGA 算法比标准的 IRA 算法有更高的精度和收敛速度，而且当标准的 IRA 和 IRSGA 算法不能在一定步数内收敛时，IRRSGA 算法可以显著提高解的精度。这些工作圆满完成了本项目预计完成的研究任务。除此之外，在本项目还研究了其他相关的矩阵计算问题，包括求解广义代数Riccati 方程的半稳定解，线性和二阶延时系统极点配置问题，及来自于反问题领域的透射特征值问题。这些工作都为未来更多应用领域问题的高效能算法研究提供了数学基础。在本项目的支持下，我们完成了 9 篇SCI 论文，参加国际会议5次，培养毕业博士生2名。基于本项目的工作基础，项目组成员获得了2013 年江苏省科学技术奖三等奖，在2014年成功申请到国家自然基金-面上项目1项。