中文摘要：

本项目的主要研究目标是以几何分析中的热方法为研究手段，对黎曼流形中的一些几何热流进行深入研究，从而揭示出流形的曲率条件与拓扑结构之间的相互关系。与此同时，在几何热流的研究框架下，着重研究如何将曲率流、Yamabe 流、Beltrami流、Ricci流等一些重要的几何热流应用于图像处理的问题，以达到将抽象数学理论实实在在地应用于国民经济的目的。作为具体的应用对象，我们将以脑部医学图像和遥感图像的研究为应用背景，系统地研究与图像处理相关的系列算法，如图像去燥、去模糊、图像分割、图像修补、图像校正、图像融合、图像序列分析等。希望能提供一系列的图像处理、分析与计算的方法，编制有一定实用价值的应用软件，建立一个在此领域有一定影响的、能够解决一些实际问题的研究队伍。在提出行之有效的图像处理数学模型的同时，我们将注重这些实际课题在数学上的严密性，要研究相应的热流方程的解的存在性、唯一性和稳定性等理论。

结论摘要：

本项目以几何分析中的热方法为研究手段，对黎曼流形中的一些几何热流进行了深入的研究，从而揭示出流形的曲率条件与拓扑结构之间的相互关系。与此同时，在几何热流的框架下，着重研究如何将曲率流、Yamabe 流、Beltrami流、Ricci流等一些重要的几何热流应用于图像处理的实际问题。我们以脑部医学图像和遥感图像的研究为应用背景，系统地研究了与图像处理相关的系列算法，如图像去噪、去模糊、图像分割、图像修补、图像校正、图像融合、图像序列分析等, 提供了一系列的图像处理、分析与计算的方法，编制了有一定实用价值的应用软件，建立了一个在此领域有一定影响的、能够解决实际问题的研究队伍。在提出行之有效的图像处理数学模型的同时，我们还注重这些实际课题在数学上的严密性，研究了相应的热流方程的解的存在性、唯一性和稳定性等理论。 本项目是按计划顺利地完成了任务。主要成果为 1) 黎曼流形上的几何变分问题、曲率流的研究。 近年来，拟Einstein度量是几何分析中重要的研究对象之一。我们得到了紧致以及完备非紧流形上拟Einstein度量的刚性结果，完成了紧致流形上拟Einstein度量的完整分类，证明了完备非紧流形上拟Einstein度量数量曲率的下界估计，得到了与梯度Ricci孤立子的数量曲率下界估计相平行的结果。我们讨论了各种热方程的解在度量固定或者度量随着Ricci流演化的情况下的梯度估计或者是熵的单调公式。 2) 几何变分问题、曲率流在数字图像处理中的应用。 我们在运用李群李代数理论去处理两组点云之间的配准方面, 及运用变分方法去处理多频道遥感图像之间的融合问题上取得了优良的结果. 在数字图像轮廓提取方面，我们改进了被广泛使用的 Chan-Vese 模型，使之适用于对SAR卫星图像中特定目标的有效快速提取，并研究了图像中纹理特征的提取方法. 对图像中多类对象的分类问题方面，运用区域的识别函数及成员函数的思想,构造了一种新型泛函，并用几何变分的方法提出了一种有效的快速分类的方法. 在描述空间曲面的带噪点云的去噪方面，我们根据点云的离散数据，利用微分几何的方法求出了曲面的主曲率及主方向，提出了一种新型有效的点云去噪方法. 在图像的去噪、去模糊、去纹理和缺损图像的填补方面，我们运用了变分方法取得了系列成果.