中文摘要：

应用和发展现代非线性动力学理论和经典非线性振动理论，研究超临界速度轴向运动黏弹性梁的横向非线性振动动力学行为，包括超临界速度轴向运动黏弹性梁的静态平衡位形分岔以及在非平凡平衡位形下标准陀螺系统的动力学建模，分别通过解析和数值仿真方法研究超临界速度轴向运动黏弹性梁的横向非线性振动稳态响应及其稳定性，还包括超临界状态轴向运动黏弹性梁动态分岔的数值仿真以及混沌的数值识别。通过本项目的研究，将深化对超临界速度轴向运动黏弹性梁静平衡位形稳定性及分岔的认识，发展非线性偏微分－积分方程的近似解析方法和数值仿真算法，探讨非线性连续体混沌运动的表示和识别方法。本项目的研究，不仅可以深入理解轴向运动梁的动力学行为，为含轴向运动部件的工程系统的设计及其正常运行提供理论储备，还将提高轴向运动系统的运行速度及工作效率，扩展非线性振动和非线性动力学理论的应用范围，发展和完善非线性连续体(特别是陀螺体)的解析和数值解法

结论摘要：

工程中常见的动力传送带、高楼升降机缆绳、输液管道等装置均可模型化为轴向运动连续体。这些装置中的横向振动限制了它们的应用效果。因此轴向运动梁横向振动的研究中有着重要的工程应用价值。同时，轴向运动的梁作为最基本的陀螺连续体，其振动分析的方法可能推广到其它更复杂的陀螺连续体，因此有着重要的理论意义。工程实际中接近临界速度时轴向运动梁的横向振动模型更为复杂，特别是超临界速度的情形。超临界速度状态下的非线性动力学是非线性科学中的难点问题，在具体的工程系统中超临界速度运动状态的研究还很有限。而另一方面，随着工业生产中的轴向运动元件的运转日益高速化，高速乃至超临界运动状态下系统特性及运动稳定性亟待研究。 该项目研究超临界轴向运动梁的非线性振动的建模、分析和仿真。在建模方面基于非平凡静平衡位形数值解，建立了超临界轴向运动梁径向与横向耦合的平面非线性振动的控制方程；并将非平凡静平衡位形的研究工作从特殊边界推广到一般边界；对目前仍广泛采用的两种梁非线性横向运动模型提出了新的见解，横向运动的仿真结果表明偏微分-积分模型比偏微分模型更接近耦合模型。在分析方面对于该含有空间相关系数的振动控制方程，发展了高阶Galerkin截断方法，运用广义本征值理论，确定了超临界轴向运动梁的径向与横向耦合的平面振动的固有频率；采用Galerkin方法处理含有空间相关系数的非线性偏微分－积分控制方程，结合多尺度摄动方法，发现了新的主谐波共振现象；对于相关空间变系数的非线性偏微分-积分控制方程，基于8阶Galerkin截断方法，构建了超临界轴向运动梁横向自由振动模态函数的近似表达式，通过高阶小量的直接多尺度方法，近似解析地研究了超临界轴向运动梁横向非线性受迫振动的稳态幅频响应。在仿真方面发展了计算轴向运动梁横向振动的有限差分法和微分求积法，验证了周期运动的近似解析结果，基于仿真结果用时间序列分析考察了分岔和混沌；基于仿真结果用离散Fourier分析确定了在超临界运动梁关于非平凡曲线平衡位形振动的频率。 将超临界轴向运动梁的研究思路拓展到超临界流速的诱发的输液管道的非线性振动问题。提出了4自由度陀螺系统的多尺度分析方法，导出离散陀螺系统受迫振动的可解性条件。研究表明，计及内共振会导致更为复杂的非线性动力学现象，其中包括双跳跃现象(即软硬特性的转化)、饱和现象、渗透现象和滞后现。