中文摘要：

研究分岔问题的常规方法是先确定系统的平衡点坐标，求出特征值或相关判定量，决定平衡点的类型和定性性质，然后在非双曲平衡点附近根据参数扰动分析向量场发生的分岔现象。然而有许多从实际中建立的生物动力系统模型具有十分复杂的数学表达形式，例如系统独立参数多、含有超越函数、系统中的每个自由变量都具有较高次数、相空间维数较高等。在这种情况下，决定平衡点的方程每一项的系数都是系统参数组成的复杂函数，平衡点坐标无法解析地求出，平衡点的特征值或者判定量无法具体表示出来，有时候甚至连平衡点的个数都很难得知。本项目试图寻求若干方法避开对复杂形式动力系统求解平衡点的困难，研究若干具有复杂形式的生物动力系统的分岔问题，包括一类具有两类非线性功能反应函数的宿主-寄生物种群模型和一类血吸虫病模型的分岔问题。事实上，对定性性质和分岔现象判定的不等式条件，如横截性条件、非退化条件等，为我们寻求这样的方法提供了可能。

结论摘要：

本项目研究了具有复杂形式的生物动力系统的分岔问题，这些系统或者具有较多的参数，或者较高相空间维数，甚至含有带周期函数的系数等。对于具有较多参数的捕食者-食饵模型，计算了正规形，讨论了该模型的跨临界分岔、Hopf分岔、退化的Bogdanov-Takens分岔等。对于血吸虫病模型，讨论了其周期轨的存在性和稳定性。此外，研究了一类二次可逆系统的Abel积分及其临界周期问题。