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中文摘要：
移动网格方法在许多物理与工程领域中有广泛而重要的应用，例如固体和流体动力学、燃烧过程、热量转移及材料科学等等，在这些领域中的物理现象往往在局部区域具有奇异性，如激波、边界层和燃烧波等等。为了数值处理这些物理问题，我们在物理区域中非常小的局部需要进行网格细分，近似求出数值突变的解函数。本项目研究具有小参数奇异摄动问题的自适应移动网格方法，选取控制函数，采用相应的网格等分布技术，构造适合边界层或内部层的非一致网格，研究有限元法与有限差分法的一致（关于小参数）收敛性，研究相应的插值逼近理论和后验误差估计，进一步得到导函数的逼近结果、有限元的超收敛性、后处理和外推等，构造移动网格的迭代算法处理非线性代数方程，构造坐标变换进行并行计算，用数值试验来验证所得的理论结果。
结论摘要：
研究了奇异摄动问题移动网格高效算法，采用迎风差分格式进行数值求解，在等分布原则下产生等弧长剖分网格，创新性地利用离散Green函数证明了半离散格式一致收敛性结果；将计算解的弧长函数作为控制函数，为了证明非线性全离散格式代数系统存在唯一的解，我们利用等分弧长生成新网格的思想构造一种迭代算法，利用不动点原理得到全离散问题解的存在性；利用离散Green函数理论得到全离散问题解的唯一性和稳定性；通过原连续问题的稳定性得到了数值格式的后验误差估计；利用离散Green函数基本性质证明了全离散格式一致收敛性结果；完成了奇异摄动问题自适应移动网格高效算法分析和数值实验；证明了渗流驱动问题混合元离散解与投影算子之间的超收敛性质；首次应用高阶插值后处理技术成功得到了渗流驱动问题混合元整体超收敛性；证明了一种残量型后验误差估计；设计了几种具有多步格式的高效扩张混合元两层网格迭代算法计算非线性反应扩散方程，多次利用牛顿线性化思想和亏量校正技术提高算法的收敛精度，证明了几种混合元两层网格迭代算法的收敛性；证明了椭圆最优控制问题自适应混合元先验误差估计、后验误差估计、超收敛性、后处理技术、多尺度混合元收敛性。
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