中文摘要：

人们在研究某种空间的性质时，若在原空间上讨论较麻烦，常把问题转移到它的对偶空间上去讨论，对偶基作为基函数在对偶空间的基底，具备了很多优良的性质。新型混合有理插值将插值点集划分为一些子集（块），在每个子集（块）上选择插值，然后用类似于Newton插值、Lagrange插值或Thiele连分式插值格式进行装配，得到各种新的一元或二元混合有理插值格式。它可扬多项式/有理插值的长处，又可避其短处，是一种性质良好的新型插值算法。本项目进一步丰富对偶基与新型混合有理插值理论，并以对偶基和新型混合有理插值为工具，以解决理论与应用相一致为目的，一方面，完善样条函数尤其是多结点样条函数的对偶基理论，另一方面，重点对几何逼近中参数曲线曲面降阶逼近，等距逼近，彩色数字图像的插值，修复等问题进行研究，以丰富和发展曲面造型、彩色图像处理的内涵与理论体系，并形成一套以对偶基和新型混合有理插值为理论工具的应用方法体系。

结论摘要：

人们在研究某种空间的性质时，若在原空间上讨论较麻烦，常把问题转移到它的对偶空间上讨论,不仅计算机辅助几何设计中各类基函数的相互转换可以利用对偶基解决,很多几何逼近问题也可以采用对偶基方法得到最佳逼近.近年来,国内国际的一批学者就对偶基的构造发表了大量的相关文献.有鉴于此,本项目进一步深入研究了对偶基理论，并采用对偶基为工具给出了对偶基在几何逼近中的几个应用研究，具体来说，一方面给出广义B样条的对偶基构造算法,新算法构造的系数矩阵为下三角矩阵,算法复杂度由之前的O(n)降至O (1);另一方面,利用广义B样条的对偶基方法,实现了参数曲线曲面降阶逼近，等距逼近，曲线曲面的光顺以及拼接等几个几何逼近问题的最佳逼近研究，丰富和发展了对偶基的理论,拓宽了对偶基在实际应用中的作用，得到了一套以对偶基为理论工具的应用方法体系。 Sederberg等在SIGGRAPH会议上首次提出了自由变形的概念,此后SIGGRAPH会议一直不乏自由变形方面的文章,发展到今天,基于体、面、轴、点的自由变形算法大大丰富了实体造型研究.项目组着重研究了基于伸缩因子的自由变形算法.算法的几何本质是逐点进行仿射变换,构造了几种全新的伸缩因子,给出了新的变形矩阵,获得了种类繁多的自由变形曲线曲面.新算法较之前算法具备了以下优点:1)数学背景简单,只需拥有基本的数学知识就可以操作;2)调控参数具备显而易见的几何意义;3)曲线曲面仅在支撑区间内进行变形, ,可精确的掌控变形范围.我们的工作进一步丰富了实体造型研究的方法体系. CAGD中散乱数据点的插值和逼近问题的研究受到诸多学者的重视.或是给定一组数据点,通过给定数据点构造精确的曲线曲面,或是在某种误差下接近给定数据点的曲线曲面. 近年来,渐进迭代逼近算法（简称PIA）算法因其具备明显的几何意义从而广受学者们的关注.项目组围绕PIA算法完成了以下几个工作:1）扩展了PIA性质的适用范围，指出了三角域上一般混合基在其配置矩阵不是全正矩阵的情况下仍具有推广的PIA性质；2）研究了张量积Bezier曲面的带权局部PIA格式；3）将PIA理论应用于实际，给出了PIA在等距曲线逼近和有理曲线的多项式逼近中的应用研究。项目组的工作不仅拓宽了PIA的适用范围,扩大了PIA的应用范围,且有利于推广PIA算法在CAGD中的应用研究.