中文摘要：

该项目将以K1理论研究为主，按近代的观点，环上典型群的结构亦含在K1理论中。我们将主要研究研究某些环上的二次型群的KU1的精细刻画，交换环上二次型群的相对正规子群，进一步探索非交换环的局部化（Cohn局部化）如何用于非交换环上典型群的结构及K1的刻画；同时兼顾考虑整体函数域的tame kernel，某些群环的结构及K2的计算，某些环上典型群在Hilbert空间上的酉表示的Kazhdan性质及一致Kazhdan常数。典型群研究将把经典的同构、自同构的研究方法应用于体、环上满足一定条件的线性变换及算子的形式的刻画。代数K-理论是目前国际数学界重要的研究领域，它对代数几何、代数拓扑、代数数论、表示论等众多数学分支都有直接和间接的影响；典型群是一类很基本的群，是与矩阵相关的众多数学分支的基础。我们的研究内容属于较基础的部分，研究工作对这一领域的发展将起到丰富的作用。

结论摘要：

该项目以$K_1$（环及$C^*$-代数）理论研究为主，同时研究矩阵代数的应用. 按近代的观点，环上典型群的结构亦含在K1理论中。我们主要完成了以下工作（1）对形式非交换环（环上装备有反自同构、形式参数）的Chon局部化的反自同构、形式参数的扩张做了研究，并刻画了一类形式非交换环的上的二次型群（含辛、酉群）的$KU_1$（即二次型群的$K_1$）.（2）刻画了环上二次型群的亚正规结构.即,设$H$是二次型群$G$的一个子群，被理想水平$J$的初等子群正规化，则存在一个理想水平$I$的初等正规子群含在$H$中，而$H$含在$G$的一个理想水平$(I:J^k)$的同余子群中（也称为广义‘三明治’定理）. 该问题与环上典型群的亚正规子群链是等价的问题，背景是相对$K1$的研究.(3)整群环的增广理想幂的商结构.即，讨论整群环$Z(G)$的增广理想的幂的生成元关系及商的结构. 近几年，课题负责人及其博士研究生分别给出了所有阶为2^5 的群，二面体群，广义四元数群的增广理想的幂的商的结构.(4)课题组成员尤超给出自由群$F_2$的受限酉表示的概念，指出了该类表示的大量存在性以及对参数$\mu$的依赖性；提供了良好的$C^*$-代数连续丛和$C^*$-代数融合积的例子，对不同参数值$\mu$的$A_{\mu}$之间的关系进行了研究，发展了自由群$F_2$的群$C^*$-代数$K$-群的计算方法.(5) 课题组成员王兴涛利用若当代数研究了对称锥互补问题解的存在性、转化理论和求解算法。通过提出若当代数上非线性变换的E0-性质和非退化性质等静态性质，给出了对称锥互补问题可解的充分条件。提出了一类新的对称锥互补函数以及调节函数概念，利用这两类函数把对称锥互补问题转化成无约束代数方程。利用牛顿算法求解此代数方程，从而建立了一族修正的光滑牛顿算法求解对称锥互补问题.