中文摘要：

延迟微分方程（DDEs）和随机延迟微分方程（SDDEs）在控制工程、力学、生物学和经济学等众多领域有着广泛的应用。本项目针对非线性DDEs，尤其是非线性自变量分段连续型延迟微分方程（EPCA方程）和比例方程，构造修改的数值格式，并给出数值解保持解析解稳定的条件；针对非线性SDDEs，尤其是非线性随机EPCA方程和随机比例方程，构造收敛的数值格式，并给出数值解保持解析解稳定的条件；寻找数值解与解析解稳定性等价的条件，这样就可以通过数值解的稳定性来判别解析解的稳定性；构造跳跃扩散随机微分方程收敛的自适应方法。

结论摘要：

本研究项目主要结果包含四个方面随机微分方程的收敛性和稳定性；分段连续型延迟微分方程（EPCA）数值方法的稳定性和振动性；脉冲微分方程数值方法的稳定性；两类生物模型数值方法的稳定性和振动性。发表与本项目相关被SCI收录的研究成果22篇。 1.给出了线性随机比例方程和脉冲随机微分方程Euler方法及半隐式方法稳定性的条件；证明了在一般的Khasminskii-型条件下带有Poisson测度的随机延迟微分方程全局解的存在性及在此条件下Euler方法数值解的依概率收敛性；给出了带有Poisson测度的随机微分方程隐式补偿欧拉方法的收敛性和稳定性的条件。 2.对于向前和向后交错型EPCA及复系数EPCA，给出了Runge-Kutta方法保持解析解稳定性和振动性的条件；对于EPCA构造了改进的线性多步法使其保持原方法的收敛阶。 3.对于脉冲微分方程给出了解析解渐近稳定和没有脉冲扰动的延迟微分方程解析解稳定的等价条件，给出了改进的线性多步方法保持解析解稳定的条件。 4.对于捕食被捕食模型，给出了Euler方法稳定的条件；对于呼吸道疾病的模型，给出了数值解保持解析解振动和非振动的条件。