中文摘要：

拟线性双曲型方程组是研究粘性及扩散效应相当小的流体运动规律的基本数学模型。这类方程组出现在空气动力学，交通流，天体物理，多相流及燃烧问题等领域，是研究这些"物理"现象的重要的和有力的工具。这类方程的研究不仅有重大的实际意义，而且将深化人类对自然界广泛存在的这一非线性现象的规律的认识。这类方程组的重要特性是其波的速度依赖于波本身。这特性使得这类方程组的解呈现出丰富和十分复杂的现象，也使得这类方程组的研究在数学上非常困难而且有挑战性。本项目的主要研究内容是非严格双曲型守恒律组的解的可容许条件，整体解的存在性，唯一性及渐进行为和近似解的误差估计。大时间步长的Glimm格式及Godunov格式的熵相容性，误差估计及收敛速率，大时间步长MUSCL格式，P.P.M格式，ENO及WENO格式的数值计算及上述的相应的理论问题。多维空间的单个守恒律用非规则网格离散的近似解最佳收敛速率的估计。

结论摘要：

双曲型守恒律，FitzHugh-Nagomu方程及Hamilton-Jacobi方程是有明确应用背景及重要理论意义的研究方向。本课题的主要结果有大时间步长格式是解双曲型守恒律的一个效率及精度较高的格式，本工作证明了该格式的熵相容性。双曲型守恒律的解由于间断的产生一般其结构是是十分复杂的。在实践及计算中人们关心得到分片光滑解的条件，本工作证明了存在C^k的第二纲集的集合，当初值属于此集合时，相应的初值问题的解是C^k分片光滑的。此结果得到的第二纲集比已有结果更大，而且分片光滑解包含了中心压缩波这一重要解类。对任意的大于0的参数，证明了FitzHugh-Nagomu方程的零波前及简单脉冲波的存在性。以前此类结果需要加参数充分小的条件，此结果被审稿人称为一个重要的结果。对Hamiton_Jacobi方程解的奇点集合形成若干个道路连通分支，并且奇点集合形成的道路连通分支一旦形成将不会消失并与使初值不取最小值的点的集合形成的道路连通分支形成1-1对应关系。